Модель функционирования направления связи. Боев В.Д. Исследование адекватности GPSS World и AnyLogic при моделировании дискретно-событийных процессов. Модель направления связи в AnyLogic

Квадратичные формы.
Знакоопределённость форм. Критерий Сильвестра

Прилагательное «квадратичный» сразу наталкивает на мысль, что что-то здесь связано с квадратом (второй степенью), и очень скоро мы узнаем это «что-то» и что такое форма. Прямо скороговоркой получилась:)

Приветствую вас на своём новом уроке, и в качестве незамедлительной разминки мы рассмотрим форму в полосочку линейную . Линейной формой переменных называют однородный многочлен 1-й степени:

– какие-то конкретные числа* (предполагаем, что хотя бы одно из них отлично от нуля) , а – переменные, которые могут принимать произвольные значения.

* В рамках данной темы будем рассматривать только действительные числа .

С термином «однородный» мы уже сталкивались на уроке об однородных системах линейных уравнений , и в данном случае он подразумевает, что у многочлена нет приплюсованной константы .

Например: – линейная форма двух переменных

Теперь форма квадратичная. Квадратичной формой переменных называют однородный многочлен 2-й степени, каждое слагаемое которого содержит либо квадрат переменной, либо парное произведение переменных. Так, например, квадратичная форма двух переменных имеет следующий вид:

Внимание! Это стандартная запись, и что-то менять в ней не нужно! Несмотря на «страшный» вид, тут всё просто – двойные подстрочные индексы констант сигнализируют о том, какие переменные входят в то или иное слагаемое:
– в этом слагаемом находится произведение и (квадрат);
– здесь произведение ;
– и здесь произведение .

– сразу упреждаю грубую ошибку, когда теряют «минус» у коэффициента, не понимая, что он относится к слагаемому:

Иногда встречается «школьный» вариант оформления в духе , но то лишь иногда. Кстати, заметьте, что константы нам тут вообще ни о чем не говорят, и поэтому запомнить «лёгкую запись» труднее. Особенно, когда переменных больше.

И квадратичная форма трёх переменных содержит уже шесть членов:

…почему в «смешанных» слагаемых ставятся множители-«двойки»? Это удобно, и скоро станет понятно, почему.

Однако общую формулу запишем, её удобно оформить «простынёй»:

– внимательно изучаем каждую строчку – ничего страшного тут нет!

Квадратичная форма содержит слагаемых с квадратами переменных и слагаемых с их парными произведениями (см. комбинаторную формулу сочетаний ) . Больше ничего – никаких «одиноких иксов» и никакой приплюсованной константы (тогда уже получится не квадратичная форма, а неоднородный многочлен 2-й степени).

Матричная запись квадратичной формы

В зависимости от значений рассматриваемая форма может принимать как положительные, так и отрицательные значения, и то же самое касается любой линейной формы – если хотя бы один из её коэффициентов отличен от нуля, то она может оказаться как положительной, так и отрицательной (в зависимости от значений ).

Такая форма называется знакопеременной . И если с линейной формой всё прозрачно, то с формой квадратичной дела обстоят куда более интересно:

Совершенно понятно, что данная форма может принимать значения любого знака, таким образом, квадратичная форма тоже может быть знакопеременной .

А может и не быть:

– всегда, если только одновременно не равны нулю.

– для любого вектора , кроме нулевого .

И вообще, если для любого ненулевого вектора , , то квадратичную форму называют положительно определённой ; если же – то отрицательно определённой .

И всё бы было хорошо, но определённость квадратичной формы виднА лишь в простых примерах, и эта видимость теряется уже при небольшом усложнении:
– ?

Можно предположить, что форма определена положительно, но так ли это на самом деле? Вдруг существуют значения , при которых она меньше нуля?

На этот счёт существует теорема : если ВСЕ собственные числа матрицы квадратичной формы положительны* , то она определена положительно. Если все отрицательны – то отрицательно.

* В теории доказано, что все собственные числа действительной симметрической матрицы действительны

Запишем матрицу вышеприведённой формы:
и из уравнения найдём её собственные значения :

Решаем старое доброе квадратное уравнение :

, значит, форма определена положительно, т.е. при любых ненулевых значениях она больше нуля.

Рассмотренный метод вроде бы рабочий, но есть одно большое НО. Уже для матрицы «три на три» искать собственные числа – есть занятие долгое и неприятное; с высокой вероятностью получится многочлен 3-й степени с иррациональными корнями.

Как быть? Существует более простой путь!

Критерий Сильвестра

Нет, не Сильвестра Сталлоне:) Сначала напомню, что такое угловые миноры матрицы. Это определители которые «разрастаются» из её левого верхнего угла:

и последний из них в точности равен определителю матрицы.

Теперь, собственно, критерий :

1) Квадратичная форма определена положительно тогда и только тогда, когда ВСЕ её угловые миноры больше нуля: .

2) Квадратичная форма определена отрицательно тогда и только тогда, когда её угловые миноры знакочередуются, при этом 1-й минор меньше нуля: , , если – чётное или , если – нечётное.

Если хотя бы один угловой минор противоположного знака, то форма знакопеременна . Если угловые миноры «того» знака, но среди них есть нулевые, то это особый случай, который я разберу чуть позже, после того, как мы перещёлкаем более распространённые примеры.

Проанализируем угловые миноры матрицы :

И это сразу говорит нам о том, что форма не определена отрицательно.

Вывод : все угловые миноры больше нуля, значит, форма определена положительно.

Есть разница с методом собственных чисел? ;)

Запишем матрицу формы из Примера 1 :

первый её угловой минор , а второй , откуда следует, что форма знакопеременна, т.е. в зависимости от значений , может принимать как положительные, так и отрицательные значения. Впрочем, это и так очевидно.

Возьмём форму и её матрицу из Примера 2 :

тут вообще без озарения не разобраться. Но с критерием Сильвестра нам всё нипочём:
, следовательно, форма точно не отрицательна.

, и точно не положительна (т.к. все угловые миноры должны быть положительными) .

Вывод : форма знакопеременна.

Разминочные примеры для самостоятельного решения:

Пример 4

Исследовать квадратичные формы на знакоопределенность

а)

В этих примерах всё гладко (см. конец урока), но на самом деле для выполнения такого задания критерия Сильвестра может оказаться не достаточно .

Дело в том, что существуют «краевые» случаи, а именно: если для любого ненулевого вектора , то форма определена неотрицательно , если – то неположительно . У этих форм существует ненулевые векторы , при которых .

Здесь можно привести такой «баян»:

Выделяя полный квадрат , сразу видим неотрицательность формы: , причём, она равна нулю и при любом векторе с равными координатами, например: .

«Зеркальный» пример неположительно определённой формы:

и ещё более тривиальный пример:
– здесь форма равна нулю при любом векторе , где – произвольное число.

Как выявить неотрицательность или неположительнось формы?

Для этого нам потребуется понятие главных миноров матрицы. Главный минор – это минор, составленный из элементов, которые стоят на пересечении строк и столбцов с одинаковыми номерами. Так, у матрицы существуют два главных минора 1-го порядка:
(элемент находится на пересечении 1-й строки и 1-го столбца);
(элемент находится на пересечении 2-й строки и 2-го столбца),

и один главный минор 2-го порядка:
– составлен из элементов 1-й, 2-й строки и 1-го, 2-го столбца.

У матрицы «три на три» главных миноров семь, и тут уже придётся помахать бицепсами:
– три минора 1-го порядка,
три минора 2-го порядка:
– составлен из элементов 1-й, 2-й строки и 1-го, 2-го столбца;
– составлен из элементов 1-й, 3-й строки и 1-го, 3-го столбца;
– составлен из элементов 2-й, 3-й строки и 2-го, 3-го столбца,
и один минор 3-го порядка:
– составлен из элементов 1-й, 2-й, 3-й строки и 1-го, 2-го и 3-го столбца.
Задание на понимание: записать все главные миноры матрицы .
Сверяемся в конце урока и продолжаем.

Критерий Шварценеггера :

1) Ненулевая* квадратичная форма определена неотрицательно тогда и только тогда, когда ВСЕ её главные миноры неотрицательны (больше либо равны нулю).

* У нулевой (вырожденной) квадратичной формы все коэффициенты равны нулю .

2) Ненулевая квадратичная форма с матрицей определена неположительно тогда и только тогда, когда её:
– главные миноры 1-го порядка неположительны (меньше либо равны нулю);
– главные миноры 2-го порядка неотрицательны ;
– главные миноры 3-го порядка неположительны (пошло чередование);
…
– главный минор -го порядка неположителен , если – нечётное либо неотрицателен , если – чётное.

Если хотя бы один минор противоположного знака, то форма знакопеременна.

Посмотрим, как работает критерий в вышеприведённых примерах:

Составим матрицу формы, и в первую очередь вычислим угловые миноры – а вдруг она определена положительно или отрицательно?

Полученные значения не удовлетворяют критерию Сильвестра, однако второй минор не отрицателен , и это вызывает надобность проверить 2-й критерий (в случае 2-й критерий будет не выполнен автоматически, т.е. сразу делается вывод о знакопеременности формы) .

Главные миноры 1-го порядка:
– положительны,
главный минор 2-го порядка:
– не отрицателен.

Таким образом, ВСЕ главные миноры не отрицательны, значит, форма неотрицательна .

Запишем матрицу формы , для которой, очевидно, не выполнен критерий Сильвестра. Но и противоположных знаков мы тоже не получили (т.к. оба угловых минора равны нулю). Поэтому проверяем выполнение критерия неотрицательности / неположительности. Главные миноры 1-го порядка:
– не положительны,
главный минор 2-го порядка:
– не отрицателен.

Таким образом, по критерию Шварценеггера (пункт 2), форма определена неположительно.

Теперь во всеоружии разберём более занятную задачку:

Пример 5

Исследовать квадратичную форму на знакоопределенность

Данную форму украшает орден «альфа», который может равняться любому действительному числу. Но это ж только веселее будет, решаем .

Сначала запишем матрицу формы, наверное, многие уже приноровились это делать устно: на главную диагональ ставим коэффициенты при квадратах, а на симметричные места – споловиненные коэффициенты соответствующих «смешанных» произведений:

Вычислим угловые миноры:

третий определитель я раскрою по 3-й строке:

(Лекция 8)

Концептуальная модель сети связи

Разработка комплексной модели сети с точки зрения системного подхода является сложной и актуальной проблемой. Комплексная модель сети необходима не только для определения оптимальной модели структуры сети связи, оптимального комплекса технических средств и алгоритмов функционирования, но должна также учитывать характеристики надежности, управление сетью и систему технического обслуживания сети связи в целом, неотъемлемой частью которой является система контроля технического состояния сети связи.

Создание цифровой сети интегрального обслуживания (ЦСИО) требует достаточно больших расходов, которые включают расходы на ее проектирование, реализацию и эксплуатацию. Можно сказать, что проблема стоимости является компромиссом между стоимостью создания сети и стоимостью ее эксплуатации. Однако экономия средств на проектирование сети может привести к серьезным негативным последствиям во время ее работы.

Процесс моделирования сети в зависимости от имеющейся априорной информации можно разделить на три этапа:

Концептуальное моделирование;

Логическая модель;

Математическая модель.

На этапе концептуального моделирования обычно производится описание модели. При этом учитывается уже имеющиеся модели сети, а также цели создания сети, требования к характеристикам, учет ограничений и выбор критериев оценки эффективности системы, что позволяет сравнивать разные модели сети.

Следующим этапом в рамках концептуальной модели является формализированное описание, что позволяет выделить структурное (морфологическое) описание сети и на его основе провести декомпозицию системы на ряд более простых функциональных модулей, процессов, блоков. (Морфологический, относящийся к выражению грамматических значений в пределах одного слова .) Таким образом, в результате концептуального моделирования можно получить ряд более простых моделей, к которым можно применить вышеизложенную методику или полученное математическое описание модели.

Использование методологии общей теории систем позволяет рассматривать задачи синтеза и анализа открытых информационных сетей как части всего жизненного цикла, который включает этапы проектирования, внедрения и эксплуатации.

Говоря о цифровой сети интегрального обслуживания (ЦСИО) как о системе, прежде всего имеют в виду ее структуру и архитектуру. Архитектура ЦСИО описывает ее внутреннее строение, алгоритмы работы, структуру и состав процедур доступа, обмена и управления, а структура характеризует внешнее строение ЦСИО, в частности, географическое размещение набора аппаратных средств и конфигурацию связей между ними.

Под структурой понимают основу организации сети (элементы и связи между ними). Структура ЦСИО является статистической характеристикой сети, поскольку не отображает способа доставки информации. Структура сети может рассматриваться в разных аспектах, которые отличаются степенью детализации данных и целевой направленностью задания – абстрактному, географическому и физическому. Модель структуры ЦСИО отображают с помощью графа .

Структура (топология) сети с пакетной коммутацией зависит от большого количества переменных, а именно: расположение источников и получателей информации (нагрузки), которая передается между ними, требований к значениям задержек в сети и надежности, стоимости каналов и узлов и т. д. Поэтому разработка структуры сети является процессом оптимизации, в котором некоторые переменные или их функции выполняют роль целевых функций, а другие ограничений, и ставится задание определения таких параметров сети, как местонахождение узлов, трассы каналов между узлами, емкости каналов и потоки в каждом из них.

Лицо, принимающее решение (ЛПР) в части структурной и архитектурной организации перспективных ЦСИО, на начальных этапах проектирования интересует не единичное точное решение, заключающеюся в поиске графа сети, а целый комплекс вопросов, из которых основными являются следующие:

Проверка технического задания (ТЗ) на непротиворечивость, оценка меры выполнимости ТЗ;

Обоснование выбора критериев оптимальности, ограничений и отдельных условий;

Оценка предельно допустимых значений надежности, вероятностно-временных и стоимостных характеристик проектируемой ЦСИО;

Определение уровня иерархичности, характера разветвленности, связности и других интегральных топологических характеристик;

Выбор лучшей концепции построения ЦСИО;

Выбор оптимального типа технических средств (ТТС), в том числе технического обслуживания (ТО) и управления потоками, или определения требований к ним по надежности, быстродействию и т. д.;

Исследование наиболее общих свойств предлагаемого проекта сети, в частности, устойчивости к входным условиям и чувствительности интегральных показателей по отношению к внутренним параметрам;

Определение оптимальной стратегии внедрения сети;

Выявление "узких" по тому или другому показателю звеньев сети и выработки предложений по их расширению.

ЦСИО является многофункциональной системой, в которой реализуется главная функция (доставка информации) и набор составляющих ее подфункций. К последним относятся: функции коммутации , маршрутизации , повышения достоверности , обеспечения надежности , устранения отклонений фактического состояния элементов от расчетного.

Поскольку в реальной сети эти процессы протекают параллельно и взаимоувязано, ЦСИО следует рассматривать как некоторую кибернетическую систему, которая состоит из управляющих подсистем . Управляемой является подсистема доставки , параметры которой (пропускная способность, точность, надежность) изменяются во времени.

Управляющая система, в кибернетическом смысле есть совокупность датчиков, средств обработки информации, контроля и регулирования работы управляемой подсистемы. Обе подсистемы связаны обратной связью (каналами "служебной" связи). Управление сетью определяют как реакцию на изменения характера поступающей на обслуживание нагрузки и структуры сети, вызванные отказами (повреждениями) элементов, перегрузками и так далее.

Система управления сетью в соответствии с функциями может быть разделена на системы управления структурой сети , управления нагрузкой и управления потоками нагрузки .

Целью управления структурой сети при отказах (повреждениях) является обеспечение необходимого качества функционирования сети при неизменной внешней нагрузке путем изменения структуры (перераспределения) существующих средств связи и (или) введением резервных средств связи. При отсутствии функциональной и структурной избыточности управления структурой сводится к введению резервных средств.

Управление внешней нагрузкой заключается в поддержке уровня нагрузки по результатам его контроля в пределах допустимых значений. Методом управления нагрузкой является ограничение передачи информации по обходным путям и ограничения входной нагрузки.

Управление потоками нагрузки обеспечивает необходимое качество функционирования сети с учетом надежности элементов и локальных перегрузок. На основе контроля потоков нагрузки по заданной структуре сети и входной нагрузке вырабатывается план распределения потоков нагрузки в сети, оптимальный с точки зрения выбранного критерия.

Таким образом, ЦСИО можно рассматривать как совокупность управляемого объекта (подсистема "Доставка"), который реализует целевую функцию ЦСИО с необходимыми показателями и объекта управления (подсистема "Эксплуатация"), который обеспечивает необходимые показатели надежности и управления ЦСИО.

Целевая функция и функция управления являются сложными функциям, которые можно декомпозировать. Методы декомпозиции позволяют осуществлять последовательную разбивку системы на части, которые в свою очередь разбиваются на составные части. После такой декомпозиции можно получить математическое описание модели .

Функционирование систем и сетей связи определяется как переход из одного состояния в другое, поэтому, при математическом описании модели используются три метода математического моделирования:

- информационный,

- цепей Маркова,

- метод фазового пространства .

При использовании информационного метода на основе анализа информации контроля, как средству взаимосвязи объекта и субъекта, делается вывод о ценности указанной информации для субъекта как меры неопределенности (энтропии ) объекта, величина которой растет с увеличением количества состояний системы. Задача контроля функционирования систем и сетей связи может быть представлена как задание процессу уменьшения неопределенности сведений о состоянии системы в необходимый момент времени. Вводя в рассмотрение меру априорных знаний о состоянии системы – средней априорной неопределенности и мере средней апостериорной неопределенности сведений о состоянии системы после контроля, можно определить среднее количество контролируемой информации между указанными величинами. Априорная неопределенность состояния сети связи в любой момент времени контроля определяется вероятностными свойствами этого состояния – законом распределения априорной вероятности разных состояний. Неопределенность знаний о состоянии системы после контроля характеризуется апостериорной вероятностью, которая рассчитывается по формуле Байеса. Таким образом, находится мера неопределенности искомого состояния системы в момент времени контроля. В такой постановке задачи необходимо найти взаимосвязь апостериорной вероятности с контролируемыми характеристиками объекта контроля.

При использовании метода цепей Маркова переходы между разными состояниями системы описываются марковским процессом (цепью). При условии, что в любой момент времени контроля система находится в одном из состояний, процесс контроля функционирования представляется в виде вероятностной схемы двумя известными способами:

Построение матрицы вероятностей перехода;

Построение диаграммы переходов или графа вероятностей перехода системы из одного состояния в другое.

Более подробно свойства марковских цепей и их использование при построении ММ рассмотрены в разделе 6 и в .

Для определения вида систем и сетей связи можно использовать метод фазового пространства . В этом случае состояние системы характеризуется векторами контролируемых величин и влияющих воздействий, а процесс контроля функционирования определяется как процесс восприятия изменений управляемых величин, сбора, обработки, хранения и отображения информации о равнодействии указанных векторов с целью принятия решения из получаемых управляющих действий.

Считается, что ММ построена, если выбран и обоснован набор ограничений и выбраны и обоснованы целевые функции .

Для определения характеристик ММ необходимо провести анализ параметров . Описание любой системы и условий ее функционирования характеризуется определенной совокупностью параметров, причем на разных этапах анализа и оптимизации нужны разные способы описания. Основную роль играют группы параметров (параметрические базисы ). Для произвольной системы выделяются базисы внешних и внутренних параметров. Внешние параметры, в свою очередь, разбиваются на два класса – входные и выходные.

В зависимости от степени комплексности и степени детализации исходные параметры подразделяются на интегральные и дифференциальные . Кроме этого, в зависимости от цели операции среди выходных могут быть выделены: переменные – критерии , которые максимизировались или минимизировались в процессе оптимизации; переменные – ограничители (лимитеры), на которые накладываются ограничения (рис. 5.1).

Внутренние переменные разбиваются на две группы: управляемые и неуправляемые . Первые – модельные параметры, непосредственно влияя на которые, алгоритм осуществляет оптимизацию, вторые – разные производные от управляемых, которые могут быть как контролируемыми, так и неконтролируемыми. На переменные этого базиса также могут накладываться ограничения (табл. 5.1).

Успех проектирования, внедрения и эксплуатации ЦСИО зависит не только от выбранных моделей функционирования, используемого математического аппарата, но и от выбранных критериев оценки эффективности системы. В качестве оценки эффективности можно воспользоваться моделью, которая включает как систему, то есть ЦСИО, так и пользователей ЦСИО (уровни 5–7, OSI). При этом используемые критерии должны зависеть от системы привязки к реальным процессам, которые имеют место в ЦСИО. Кроме того, необходимо выделять взаимосвязанные процессы (подпроцессы) в единственном процессе доставки информации в ЦСИО. Например, рассматривая с 1-го по 4-й уровни ЭМВОС, можно выделить процессы коммутации, маршрутизации и ограничения потоков.

Обобщающим для всех перечисленных процессов является процесс доставки информации пользователям. В этом случае можно выделить следующую цепочку критериев:

Функция ценности информации (для процесса доставки);

Функция производительности сети (для процесса обмена информацией);

внешние вероятностные характеристики (для процессов коммутации, маршрутизации и ограничения потоков).

Синтез структуры сети связи

В прагматичном смысле интегральная цифровая сеть связи является вторичной сетью связи, основное задание которой заключается в обеспечении обмена информацией между пользователями с заданным качеством.

Это задание успешно решается лишь путем создания эффективной структуры системы доставки, системы эксплуатации (СЭ) и включенной в ее состав системы технического обслуживания (СТО).

Таблица 5.1

Наиболее распространенные параметрические базисы системы относительно подсистемы доставки СС

Опыт эксплуатации сетей позволяет сформулировать следующие принципиальные требования, которым должны удовлетворять СЭ:

Сети строятся как самоорганизованные и самообновляющиеся, однако во всех сетях предусмотрена возможность вмешательства обслуживающего персонала;

Обеспечивается высокий уровень автоматизации процессов диагностики и изменения конфигурации сети и ее отдельных компонентов;

Локальная диагностика элементов сети, позволяющая обнаруживать отказы в момент их возникновения, а также при периодической плановой диагностике;

Централизованная диагностика предусматривает наличие в сетях центров техобслуживания (ЦТО), выполняющих одновременно функции сбора и обработки статистических данных.

Эксплуатация ЦТО (в широком смысле) – это процесс использования ресурсов сети в соответствии с потребностями в обмене данными, то есть объектом эксплуатации в данном случае является сеть в целом. СЭ охватывает широкий круг вопросов и может быть разделена на подсистему общей эксплуатации (управление состоянием внешней среды) и подсистему технического обслуживания (управление состоянием внутренней среды).

Действие внешней среды (входной поток заявок; поток внешних действий; документации, материалов, энергии и так далее; экологические и социальные действия.

Действием внутренней среды является поток отказов, вызванный несовершенством технологии изготовления, физической прочности (обрыв или короткое замыкание), конструктивными, алгоритмическими, программными, технологическими ошибками, ошибками обслуживающего персонала.

В основу СТО положена высокая надежность и автоматизация процессов возобновления работоспособности. Отказ отдельного устройства элемента сети, как правило, не оказывает значительного влияния на качество функционирования всей сети. Это объясняется разными видами избыточности, используемыми в ЦСИО.

Эксплуатационные расходы, связанные с использованием большой численности обслуживающего персонала высокой квалификации, могут быть снижены путем автоматизации процессов технического обслуживания и выбором оптимальной СТО. Очевидно, что полностью децентрализующая СТО даже при высокой степени автоматизации процессов техобслуживания не будет оптимальной, поскольку требует присутствия технического персонала. С другой стороны, полностью децентрализующая СТО также не решит поставленного задания. По этой причине вместе с автоматизацией выдвигается проблема оптимальной структуры СТО, то есть выбору такого количества ЦТО и такого их расположения, чтобы обеспечить минимум эксплуатационных и капитальных вложений.

Синтез структуры сети связи с учетом системы технического

обслуживания

Алгоритм поиска решения задачи оптимизации топологии сети основан на двух общих подходах: на многократном построении решений и на трансформации решений с целью улучшения некоторых начальных заданных решений. Сначала задается некоторая исходная модель. Потом с помощью метода целенаправленного перебора структур исходная сеть оптимизируется путем включения или исключения отдельных ребер графа сети. На каждом этапе осуществляется расчет стоимостного критерия и ограничений, которые характеризуют показатели надежности, а также определяется направление траектории оптимизации. Структура полученного варианта сети зависит от структуры исходной сети, процедур изменения структуры и очередности их проведения.

Структура сети может быть задана географическим размещением своих элементов и связей между ними или получена специальным методом генерации решений, которые выполняются автоматически машинными алгоритмами поиска.

Общая автоматизация структуры сети и СТО обеспечивает нахождение оптимума общего задания, включая подсистемы доставки. Однако задание общей оптимизации из-за больших размерностей современных сетей является чрезвычайно сложным заданием, для которого нет методов поиска точного решения. Поэтому целесообразно рассмотреть задание общей оптимизации структуры сети и СТО для базовой системы передачи данных, которая достаточно просто может быть трансформирована для общей модели оптимизации иерархической сети.

Критерии эффективности Таблица 5.2.

Уровни эталонной модель OSI
Прикладной, Сеансовый, представительский	Транспортный	Сетевой	Канальный	Физический
Защита Приоритет Темп остаточных ошибок Полоса пропускания Задержка передачи (для каждого направления) Оптимизация передачи Расширенное управление Задержка установления соединения Вероятность отказа от установленного соединения Вероятность ошибки передачи Задержка завершения соединения Вероятность ошибки завершения соединения Надежность соединения ПВ	С соединением Защита Приоритет Фаза установления соединения: Задержка соединения; Вероятность неустановления Фаза передачи данных: Пропускная способность; Транзитная задержка; КНП; надежность; вероятность отказа Фаза разъединения: задержка разъединение; вероятность неразъединение; Без соединения Транзитная задержка КНП Защита Приоритет ПВ	С соединением Фаза передачи данных: пропускная способность; транзитная задержка; КНП; надежность; вероятность отказа; наибольшая сложность соединение Фаза становления соединения: задержка установления; вероятность установления Фаза разъединения: Задержка разъединения; Вероятность неразъединения Без соединения Транзитная задержка Защита ПВ КНП Приоритет Возможность контроля нагрузок Вероятность сохранения последовательности Максимальное время существования сетевого сервисного блока данных	Пропускная способность Транзитная задержка Защита соединение КНП Надежность соединение ПВ	Частота появление ошибок Вероятность ошибки на бит информации Доступность сервиса Скорость передачи Транзитная задержка ПВ
Примечание. ПВ - параметры стоимости; КНП - коэффициент невыявления ошибок

| | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | 23 | | | | | | | | | | | | |

Монография. — СПб.: ВАС, 2011. — 404 с.Приводятся сравнительные оценки результатов моделирования разнородных дискретных процессов, полученных на моделях одной и той же системы в GPSS World и AnyLogic. Делаются выводы об адекватности систем относительно результатов с учётом требуемой точности. Предлагаются методики разработки имитационных моделей с применением инструментальных средств AnyLogic и GPSS World.
Для студентов, аспирантов, преподавателей и научных работников.Содержание: Введение. Модель обработки запросов сервером:
Модель в GPSS World.
Решение прямой задачи.
Постановка задачи.
Уяснение задачи моделирования.
Блок-диаграмма модели.
Программа модели.
Ввод текста программы модели, исправление ошибок и проведение моделирования.
Дисперсионный анализ (отсеивающий эксперимент).
Решение обратной задачи.
Модель в AnyLogic.
Постановка задачи.
Создание диаграммы процесса.
Изменение свойств блоков модели, её настройка и запуск.
Изменение свойств блоков диаграммы процесса.
Настройка запуска модели.
Запуск модели.
Создание анимации модели.
Сбор статистики использования ресурсов.
Уточнение модели согласно ёмкости входного буфера.
Сбор статистики по показателям обработки запросов.
Создание нестандартного класса заявок.
Добавление элементов статистики.
Изменение свойств объектов диаграммы.
Удаление и добавление новых полей класса заявок.
Добавление параметров и элементов управления.
Добавление гистограмм.
Изменение времени обработки запросов сервером.
Результаты решения прямой задачи.Модель процесса изготовления в цехе деталей:
Модель в GPSS World.
Решение прямой задачи.
Постановка задачи.
Исходные данные.
Задание на исследование.
Программа модели.
Проведение исследований.
Решение обратной задачи.
Особенности построения программы модели.
Проведение исследований.
Проведение экспериментов.
Модель в AnyLogic.
Исходные данные. Использование массивов.
Подготовка заготовки.
Сегменты Операция, Операция, Операция.

Создание области просмотра.
Пункт окончательного контроля.
Склад готовых деталей.
Склад бракованных деталей. Вывод результатов моделирования.
Создание и переключение между областями просмотра.
Проведение исследований в AnyLogic.
Модель функционирования направления связи.
Постановка задачи.
Модель направления связи в GPSS World.
Модель направления связи в AnyLogic.
Исходные данные.
Вывод результатов моделирования.
Построение событийной части модели.
Источники сообщений.
Буфер, основной и резервный каналы.
Имитатор отказов основного канала связи.
Оценка результатов моделирования.Модель функционирования сети связи:
Модель в AnyLogic.
Постановка задачи.
Исходные данные.
Задание на исследование.
Создание новых классов активных объектов.
Создание областей просмотра.
Сегмент Абонент.
Исходные данные.
Результаты моделирования по каждому абоненту.
Показатели качества обслуживания сети связи.
Построение событийной части сегмента.
Сегмент Маршрутизатор.
Исходные данные.
Событийная часть сегмента Маршрутизатор.
Блок контроля.
Блок Буфер.
Блок обработки сообщений.
Блок контроля.
Блок Буфер.
Организация входных и выходных портов.
Имитатор отказов вычислительного комплекса.
Сегмент Канал.
Исходные данные.
Событийная часть сегмента Каналы.
Организация входного и выходного портов.
Имитатор отказов каналов связи.
Построение модели сети связи.
Переключение между областями просмотра.
Запуск и отладка модели.
Модель в GPSS World.
Состав GPSS-модели.
GPSS-программа.
Сравнительная оценка результатов моделирования.
Модель предоставления услуг связи.
Модель в AnyLogic.
Постановка задачи.
Задание на исследование.
Формализованное описание модели.
Сегмент Постановка на дежурство.
Область просмотра.
Ввод исходных данных.
Имитация поступления средств связи.
Распределитель средств связи.
Создание нового класса активного объекта.
Создание элемента нового класса активного объекта.
Переключение между областями просмотра.
Сегмент Имитация дежурства.
Ввод исходных данных.
Вывод результатов моделирования.
Событийная часть сегмента Имитация дежурства.
Переключение между областями просмотра.
Сегмент Статистика.
Использование элемента Текстовое поле.
Использование элемента Диаграмма.
Переключение между областями просмотра.
Использование способа Событие.
Проведение экспериментов.
Простой эксперимент.
Связывание параметров.
Эксперимент Оптимизация стохастических моделей.
Эксперимент Варьирование параметров.
Экспорт модели как Java апплета.
Модель в GPSS World.
Состав модели в GPSS World.
Программа GPSS-модели.
Сравнительная оценка результатов моделирования.Модель функционирования предприятия:
Модель в GPSS World.
Постановка задачи.
Исходные данные.
Задание на исследование.
Уяснение задачи на исследование.
Программа модели.
Модель функционирования предприятия в AnyLogic.
Формализованное описание.
Ввод исходных данных.
Вывод результатов моделирования.
Построение событийной части модели.
Имитация работы цехов предприятия.
Имитация работы постов контроля блоков.
Имитация работы пунктов сборки изделий.
Имитация работы стендов контроля изделий.
Имитация работы пунктов приёма изделий.
Имитация склада готовых изделий.
Имитация склада бракованных блоков.
Организация переключения между областями просмотра.
Сравнительная оценка результатов моделирования.Модель функционирования терминала:
Модель в GPSS World.
Постановка задачи.
Программа модели в GPSS World.
Модель функционирования терминала в AnyLogic.
Исходные данные и результаты моделирования.
Событийная часть модели.
Результаты моделирования.
Эксперименты.
Первый отсеивающий эксперимент в GPSS World.
Второй отсеивающий эксперимент в GPSS World.
Первый оптимизационный эксперимент в AnyLogic.
Второй оптимизационный эксперимент в AnyLogic.
Результаты экспериментов в GPSS World и AnyLogic.
Модель предоставления ремонтных услуг.
Модель в AnyLogic.
Постановка задачи.
Исходные данные.
Задание на исследование.
Формализованное описание модели.
Ввод исходных данных.
Вывод результатов моделирования.
Построение событийной части модели.
Сегмент Источники заявок.
Сегмент Диспетчеры.
Сегмент Мастера.
Сегмент Учёт выполненных заявок.
Отладка модели.
Модель в GPSS World.
Состав модели в GPSS World.
Программа GPSS-модели.
Сравнительная оценка результатов моделирования.Модель обработки документов в организации:
Постановка задачи.
Аналитическое решение задачи.
Решение задачи в AnyLogic.
Решение задачи в GPSS World.Решение обратных задач в AnyLogic:
Определение среднего времени обработки группы запросов сервером.
Определение среднего времени изготовления деталей.Заключение. Список литературы.

Современные системы связи носят сложный характер, обусловленный большим количеством случайных факторов. Поэтому с ростом сложности подобных систем на фоне стремительного повышения возможностей вычислительной техники особое значение в математическом моделировании приобретают имитационные модели.

Создание математической модели требует формализации исходных данных, при этом все элементы подразделяются на входные, выходные и внутренние. Элементы не входящие в систему, относят к среде. Каждый элемент системы может описываться некоторым ее внутренним состоянием. Если состояние системы не зависит от внешней среды, то элемент, вызвавший такое состояние, называется входным. Если элемент влияет на внешнюю среду, то его называют выходным.

Имитационные модели обладают рядом достоинств:

• во-первых, подобные модели обеспечиваю более высокую точность результатов моделирования, обусловленную стохастическими характеристиками входного воздействия;
• во-вторых, возможностью проведения сравнительных испытаний различных декодирующих алгоритмов при фиксированных параметрах мешающих факторов;
• в-третьих, предоставляемой возможностью варьирования наиболее важных для целей эксперимента параметров;
• в-четвертых, выраженная экономическая эффективность и существенное сокращение сроков испытаний.

Целесообразно указать обязательные этапы разработки имитационной модели, которые определяют последовательность действий в решении задачи моделирования.

Первый этап заключается в постановке задачи, которая, как правило, формулируется на естественном языке и определяет уровень информационной модели, вслед за которым решаются проблемы выбора средств моделирования для достижения конечной цели. При этом априорная информация формируется в виде базы данных, из которой выделяются необходимые сведения для содержательного описания вновь возникшей задачи.

Среди задач исследования, для чего собственно и разрабатываются различные модели, выделяют два класса, составляющие полную группу. Это задачи анализа и задачи синтеза. Постановка первых требует задания в качестве исходных данных структуры системы и характеристик ее элементов. Решение задачи состоит в нахождении характеристик исследуемой системы. Задачи анализа вследствие их однозначности являются потенциально разрешимыми, т.е. можно априорно утверждать, что тем или иным способом решение всегда может быть найдено и гораздо сложнее дело обстоит с синтезом систем, когда решение таких задач не всегда приводит к успеху.

На этапе содержательного описания моделируемого объекта он разрабатывается с позиции системного подхода. Исходя из цели исследования, взаимосвязи между элементами, возможные состояния каждого элемента, существенные характеристики состояний и соотношений между ними учитываются в словесном описании процесса моделирования, т.е. на естественном языке. Это исходная естественнонаучная концепция исследуемого объекта.

Такое предварительное, приближенное представление объекта называют в терминах информатики концептуальной моделью. Под концептуальной моделью следует понимать частично формализованное описание проблемы и системы, средством решения которой она является. Обычно концептуальная модель должна ответить одновременно на два вопроса: «Что делать? Какими средствами?». Если не ясен ответ на один из поставленных вопросов создать модель не представляется возможным.

Второй этап включает выделение и описание массивов и исходных данных, формальное описание цели функционирования системы (если возможно, то цель функционирования описывается как подобласть пространства состояния) и описание выходных данных в реальном масштабе времени. Вырабатываются функционал или множество показателей эффективности функционирования модели, логическая формулировка оптимальности функционирование, оценивается система ограничений и допущений и их влияние на разрабатываемую модель. Этим определяется концептуальный уровень модели.

Третий этап является семантическим уровнем модели, на котором определяют последовательность действий в формате алгоритма функционирования модели.

Четвертый этап представляет формальный уровень моделирования с использованием доступного программного обеспечения ЭВМ и последующим испытанием модели путем проигрывания на ЭВМ различных ситуаций, в результате чего проверяется ее адекватность реальной системе и вырабатываются рекомендации по ее использованию и совершенствованию. Выбор математического аппарата обеспечивает собственно начало формального описания модели, которое невозможно без понимания смысла процесса моделирования. Формальное описание вида функций, выступающих компонентами модели, в конечном итоге проявляется в виде конкретного программного продукта, который выражает логический уровень моделирования.

Проверка адекватности модели дает аттестацию проделанной работе. По результатам проверки модели на адекватность принимается решение о возможности ее практического использования, либо частичной коррекции, либо полном пересмотре концепции исследования.

Принципиально сущность оптимизации понятна. Она проводится, исходя из конкретного смысла, направлена на упрощение модели, исходя из заданного уровня адекватности.

Имитационное моделирование систем связи с целью изучения особенностей применения в них различных схем помехоустойчивого кодирования имеет общие канонические принципы. Главный из них заключается в структуре построения моделей подобного типа. Структура модели представлена на рис. 2.14.

Обязательным атрибутом подобной модели является ДСЧ с равномерной ПРВ, который порождает равновероятную последовательность двоичных символов. Эта последовательность преобразуется в информационные блоки, которые характерны для конкретной системы связи.

Рис. 2.14. Принцип построения имитационной модели системы связи с помехоустойчивым кодированием

Источник сообщений может оставаться двоичным или настраиваться на конкретную -ичную систему. Основной задачей подобной модели является оценка возможностей помехоустойчивого кода по исправлению (обнаружению) ошибок. Для получения подобных характеристик в модели организуется канал без помех. Сравнение данных из подобного канала и данных, прошедших через исследуемую модель дает, как правило, ясную картину об эффективности исследуемого метода обработки информации в виде статистики, доступной исследователю. Устройство сравнения представляет собой реализацию схемы неравнозначности. Объем обрабатываемых данных, для получения надежных результатов, определяется общеизвестными методами .

Принцип построения имитационной модели исследуемой структуры связи легко проследить на примере моделирования канала связи с АБГШ.

Теоретические принципы представления подобного канал описаны в разделе 2.3. Средства любого языка программирования высокого уровня позволяют получить случайные величины с нормированной и центрированной ПРВ, которые подчиняются нормальному распределению. При моделировании двоичного канала связи необходим переход от к величинам и , описывающие условные функции распределения вероятностей при передаче 0 или 1. Такой переход осуществляется за счет линейного преобразования величины . Для этого в программу вводится оператор , здесь и – соответственно заданные СКО и математическое ожидание нормального закона распределения. Смысл преобразования сводится к смещению исходного значения на величину математического ожидания и изменению масштаба с помощью СКО .

Таким образом, значение адекватно параметру , а значение соответствует параметру при заданной энергии сигнала на бит. Соотношение сигнал-шум может задаваться через изменение дисперсии или за счет изменения расстояния между и . с результатами моделирования аналогичного канала из стандартной библиотеки используемого программного продукта.

Проверка адекватности модели представляет один из наиболее важных этапов процесса моделирования системы связи. Указанная проверка может быть проведена :

• обратным переводом программы в исходную схему;
• проверкой отдельных частей программы при решении различных тестовых задач;
• объединением всех частей программы и проверкой ее в целом на контрольном примере моделирования варианта моделируемой системы.

На рис. 2.15 приведен пример сравнительного анализа испытаний системы передачи данных с кодом Хэмминга (7,4,3) в канале с АБГШ.

Рис. 2.15. Результаты проверки адекватности модели:
1– двоичный канал без кодирования с АБГШ;
2– результаты аналитического моделирования системы с кодом Хэмминга (7,4,3) для канала с АБГШ;
3– результаты имитационного моделирования системы с кодом (7,4,3)

На основе полученных данных можно утверждать, что разработанная имитационная модель адекватна реальным процессам, происходящих в канале связи с АБГШ.

Структурно-топологическое построение сетей связи предполагает моделирование сети, ее представление количественными показателями через соответствующие параметры, а также описание состава, конфигурации, взаимосвязи отдельных элементов и принципов установления связи. Многогранность такого описания сети связи обусловливает наличие целого ряда характеристик, которые можно объединить в три основные группы: характеристики функционирования, экономические и морфологические.

Характеристики функционирования сетей связи раскрывают протекающие в них процессы передачи информации, позволяют определить основные вероятностно-временные параметры сетей.

Экономические характеристики показывают затраты, необходимые на строительство и эксплуатационное обслуживание сетей связи, а также доход, который может быть получен от эксплуатации сетей.

Морфологические (структурно-топологические) характеристики дают описание состава и построения сетей связи, характера взаимосвязи между коммутационными центрами различных типов, а также способов распределения каналов по ветвям и направлениям связи. В эту группу характеристик входят структура, топология и стереология.

Необходимо отметить, что под структурой в общем случае понимается модель, необходимая для описания процессов или объектов путем выделения в них элементов и определения существенных устойчивых связей между ними. При этом структуры могут быть организационными, техническими, функциональными, организационно штатными и т. д. В рамках рассмотрения основ построения телекоммуникационных систем и сетей под структурой сети связи будем понимать характеристику, описывающую взаимосвязь входящих в нее коммутационных центров независимо от их фактического расположения и трасс прохождения линий связи на местности.

Структура сети служит для отображения потенциальных возможностей сети по распределению информации между ее отдельными пунктами. С этой целью на структурах сетей показываются КЦ, на которых может осуществляться распределение потоков информации, и ветви сети, раскрывающие схему связи между этими КЦ.

Многочисленность факторов, определяющих специфику построения различных сетей связи, ведет к многообразию их структур.

Основой для построения сети связи любой сколь угодно сложной структуры являются так называемые элементарные структуры . Принято выделять элементарные структуры двух типов:

Радиальная элементарная структура (рис. 1.25); - кольцевая (петлевая, шлейфовая) элементарная структура (рис. 1.26).

Количеством элементов (узлов) и количеством связывающих ветвей (линий) М:

Для радиальной элементарной структуры И > 2, М = N - 1; - для кольцевой элементарной структуры N > 3, М = И.

Признаком отличия структур одного типа может служить количество входящих в них узлов И. При этом говорят: элементная элементарная структура радиального типа; элементная элементарная структура кольцевого типа.

Другим определяющим параметром элементарной структуры является число ветвей, инцидентных (принадлежащих) каждому. узлу. Так, для радиальной элементарной структуры характерным является

наличие единственного узла, которому инцидентны N - 1 ветви, остальным же узлам этой элементарной структуры инцидентна лишь одна ветвь. Для кольцевой элементарной структуры характерно то, что любому узлу всегда инцидентны две ветви.

На базе элементарных структур строятся более сложные. При использовании только радиальных элементарных структур могут быть созданы например древовидные (рис. 1.27). Для сетей связи древовидной структуры сохраняется то же соотношение основных пара- метров, что и для радиальной элементарной структуры. Между каждой парой узлов такой структуры существует только один путь для установления связи. Другими словами, древовидная сеть - сеть односвязная. Частными случаями ее являются узловая сеть (рис. 1.27, а) с иерархическим построением и соподчинением узлов, звездообразная (рис. 1.27, б) с одним узлом и линейная сеть (рис. 1.27, в).

В узловой сети с иерархическим построением и соподчинением ее узлов имеется узел высшего класса, называемый корневым, с которым соединяются узлы первого класса (уровня). К узлам первого класса подсоединяются узлы второго, третьего (и т. д.) класса.

Кольцевая элементарная структура является базой для построения сложных структур, которые в общем случае можно разделить на полно связные структуры (рис. 1.28, а) и неполно связные структуры (рис. 1.28, б - е).

Сеть полно связной структуры - сеть, соединение узлов в которой производится по принципу каждый с каждым» и которая характеризуется следующим соотношением основных параметров:

где М - количество ветвей, И - количество коммутационных центров.

Особенностью полно связной сети является то, что между каждой парой узлов этой сети существует (N - 1) независимых путей для установления связи.

Для не полно связных структур соотношение основных параметров задается двойным неравенством:

где Е - число кольцевых элементарных структур. Варианты сетей связи смежно-кольцевой структуры представлены на рис. 1.28, б - е.

Различают смежно-кольцевые структуры, образованные одинаковыми (рис. 1.28, б, в, г, е) и разными (рис. 1.28, д) кольцевыми элементарными структурами. Иногда структуры получают специальные названия: «Алмаз» или «Кристалл», «Соты», Решетка», «Двойная решетка» (рис. 1.28, б, в, г, е соответственно).

Структуры сетей связи, представленные на рис. 1.28, в, г, е, относят к разряду регулярных структур, у которых наблюдается равномерное распределение узлов по территории и однотипное соединение соседних узлов. У этих структур каждый узел (кроме расположенных по краям сети) имеет ранг (степень), который определяется количеством ветвей, соединяющих его с другими узлами. Для структур, показанных на рис. 1. 28, в, г, е, узлы имеют ранги r = {3, 4, 6} соответственно. При большом числе узлов в сетях с регулярными структурами число ветвей определяется формулой

На сети с узлами разного ранга число ветвей определяется следующим выражением:

где И,. - число узлов ранга r , Сложные комбинированные структуры сетей связи могут быть образованы совокупностью элементарных структур как радиального, так и кольцевого типа. Телекоммуникационная сеть, как правило, содержит области с различными структурами. Чаще других создаются сети узловой и радиально-узловой структуры (рис. 1.29, а и б). Выбор той или иной структуры сети определяется прежде всего экономическими показателями и требованиями к надежности, живучести, пропускной способности.

Важным специфическим структурным свойством сетей связи является возможность представления одной и той же сети связи различными изоморфными графами без петель . Две структуры принято

называть изоморфными, если между множествами узлов (вершин) существует взаимнооднозначное соответствие, сохраняющее смежность.

Граф сети связи G = (V, U) представляет собой набор точек, называемых вершинами V= {v 1 ,v 2 ,…,v n }, которые соединены между собойлиниями, называемыми ветвями U = {и ij }. Это позволяет изображать любую структуру в виде, удобном для дальнейшей работы с ней (рис. 1.30, а, б).

В теории графов различают ориентированные и неориентированные, взвешенные и помеченные графы .

В ориентированных графах сообщения в ветвях (линиях и каналах связи) передаются только в одном направлении (рис. 1.31, а). В неориентированных графах сообщения могут передаваться в обоих направлениях (рис. 1.31, б).

Взвешенным называется граф, в котором вершинам и ветвям соответствуют некоторые числа, называемые весами. Весом может быть пропускная способность (С), надежность, живучесть и т. д. элемента

сети связи. На рис. 1.31, в представлен взвешенный граф, где в качестве веса выбрана пропускная способность направления связи, выраженная в количестве каналов.

Граф, в котором вершины пронумерованы, называется помеченным или размеченным. Иногда при работе на вычислительных машинах возникает необходимость проанализировать сеть связи, не прибегая к изображению ее в виде графа. Одной из форм математического представления сети связи (графа) является алгебраическое задание ее с помощью ряда структурных матриц.

Пусть задан граф G = (V, U), вершины которого пронумерованы в произвольном порядке. Структурной матрицей смежности (соседства) [А] = [ а ij ] помеченного графа G =(V,U) с n верши нами называется матрица размера пхп, в которой а ij . = 1, если вершина v 1 связана с вершиной v j и а ij = 0 в противном случае. Таким образом, существует взаимно однозначное соответствие между помеченными графами с и вершинами и матрицами размера пхп с нулями по диагонали. Для помеченного графа G, показанного на рис. 1.31, б, матрица смежности имеет следующий вид:

Легко заметить, что суммы элементов матрицы[А]по строкам (столбцам) равны степеням (рангам) вершин графа G.

Степенью вершины графа G, называется количество входящих и исходящих из него ветвей.

Другой матрицей, связанной с графом G, в котором пронумерованы (помечены) вершины и ребра, является матрица инциденций ([B]=b ij ]).Такая матрица характеризует взаимосвязь вершин и ребер, что важно при рассмотрении вопросов связности моделируемой сети связи. Матрицей инциденций помеченного графа G= (V, 0) с и вершинами и т ребрами называется матрица размераmxn, в которой b ij . = 1, если вершина v i ,.инцидентна ребру и, и b i = 0 в противном случае.

Для помеченного графа G (рис. 1.32) матрица инциденций В имеет следующий вид:

Для ориентированного графа 6 матрица инциденций [В] определяется следующим образом:

Поскольку каждая дуга инцидентна двум различным вершинам (за исключением того случая, когда дуга образует петлю), то каждый столбец матрицы инциденций содержит один элемент, равный 1, и один, равный - 1, либо все элементы столбца равны нулю.

Матрица мощности ветвей [М] (рис. 1.31, в), элементами которой являются веса а ij принимающие значения, численно равные количеству стандартных каналов между ЦК,. и ЦК, имеет вид

Не останавливаясь подробно на аппарате преобразования матриц, отметим только некоторые особенности, на которые следует обратить внимание при синтезе и анализе сетей связи.

Произведение двух квадратных матриц [[А[[=[[а ij ] и [[В]=[[Ь ij порядка Nприводит к квадратной матрице [C] =[A][.]=[B] того жепорядка, элементы которой и, равны сумме позленных произведений строки матрицы [А] и его столбца матрицы [[В]]:

Путь изузла а s в узел а t - это упорядоченная последовательность ребер, начинающаяся в а, заканчивающаяся в а, и не проходящая дважды через один и тот же узел, причем конец каждого предыдущего ребра совпадает в промежуточном (для данного пути) узле с началом последующего ребра. Путь, намеченный (выбранный) для доставки тех или иных сообщений между заданной парой пунктов (узлов), будем называть маршрутом, а процесс установления таких маршрутов (путей) - маршрутизацией.

При возведении структурной матрицы в g-ю степень получается матрица, каждый элемент которой характеризует путь от узла а i к узлу а, который включает ребра, число которых не превышает ранг данной матрицы:

Очевидно, что имеется некоторое конечное число, превышение которого не приведет к изменению матрицы, которая в таком случае становится характеристической:

Матрица [М] называется характеристической, или матрицей, описывающей все возможные в сети пути между узлами. Особенностью математического описания сетей является то, что максимальный ранг не может превышать (И - 1), и, следовательно, справедливо неравенство

g 1. (1.31)

Под рангом пути r(т st) (иногда этот показатель называют длиной пути) понимается число ребер, образующих этот путь. Минимальный ранг пути равен 1, максимальный -

(N - 1), когда путь проходит через все узлы.

Сеть связи можно описать также с помощью ее топологии. Топология сети связи дает представление о взаимном расположении и соединениях КЦ этой сети, группировке каналов по ветвям и направлениям связи, а также о маршрутах и особенностях прохождения трасс линий связи на местности. Топология отображает КЦ, выполняющие все виды оперативной и долговременной коммутации. В зависимости от полноты данных о сети связи и формах представления этой сети различают общую, полную и частную топологии.

Общая топология дает представление о взаимном расположении всех типов КЦ, способах их соединения линиями связи, а также о характере распределения образуемых на этих линиях каналов и трактов по ветвям и направлениям связи. Пример общей топологии сети, имеющей структуру, приведенную на рис. 1.33, а, дан на рис. 1.33, б.

Кроме КЦ,...КЦ, выполняющих оперативную коммутацию, на схеме общей топологии показаны КЦ, и KLI , обеспечивающие долговременное соединение каналов. Здесь же можно видеть, как группируются каналы. Совокупность каналов различных направлений связи образует пучки ветви между смежными узлами (например, исходящие из первого КЦ каналы образуют пучок т,). При этом, конкретизируются трассы каналов направлений связи (например, каналы между первым и вторым КЦ могут быть разнесены по различным

Общая топология выявляет детали построения первичных и вторичных сетей, позволяет решать задачи распределения каналов между КЦ, а в случае необходимости принимать решение на маневрирование этими каналами.

Схема полной топологии выполняется, как правило, на карте и обеспечивает привязку элементов сети связи (КЦ, линий связи) к местности. На ней указываются особенности прохождения трасс линий связи, места расположения станций, ретрансляционных пунктов (усилительных пунктов) и т. д. Кроме того, на схеме полной топологии могут указываться объекты, не являющиеся элементами сети связи, но имеющие значение при ее эксплуатации: пункты снабжения, резерв средств связи, ремонтные органы и др.

Для решения отдельных задач по строительству и эксплуатации сети связи могут использоваться полные топологии отдельных участков данной сети, называемые частными топологиями этих участков. Частная топология составляется по тем же правилам, что и полная. При этом возникает дополнительная возможность детализации отдельных сведений, необходимых конкретному исполнителю при решении поставленной перед ним задачи. К частным топологиям, например, относятся топологии абонентских сетей, развертываемых

от оконечных КЦ на территории размещения пунктов управления или в населенных пунктах.

В ряде случаев часть элементов сети связи может размещаться на летно-подъемных средствах. Объемное расположение и взаимосвязь элементов сети связи, а при необходимости и характер их перемещения можно описать с помощью стереологии этой сети. Формами представления стереологии могут служить изометрическая схема, схемы проекций сети на горизонтальную и вертикальную плоскости или описание координат размещения элементов сети и их взаимосвязи. Таким образом, стереология дает представление о пространственном расположении и перемещении элементов сетей связи.

Рассмотренные характеристики дают общее представление о сети связи, которая имеет ряд отличительных свойств.

Свойство сети связи - существенная черта данной сети, обусловливающая ее отличие от других сетей связи или сходство с ними и проявляющаяся при ее функционировании. Основными свойствами сети связи являются ее связность, структурная живучесть, пропускная способность, надежность и др.

Сеть связи называется связной, если в ней может быть найден хотя бы один прямой или транзитный путь для установления связи между каждой парой узлов связи. Сеть называется h-связной, если любые два узла связаны независимыми путями, число которых не менее h. Например, сеть, представленная на рис. 1.34, является двусвязной (h = 2), так как имеет два независимых пути от первого узла к третьему: а - b, с - d.

Понятие связности чаще относится не ко всей сети связи, а к заданным узлам а, и а, (h- связность), а также к множеству путей, обладающих заданным свойством. При этом можно вводить ограничение по рангу. Например, для сети, изображенной.

От связности зависит такая характеристика сети связи, как структурная живучесть. Под структурной живучестью понимается свойство сети сохранять связность при массовых разрушениях элементов или отдельных частей . Количественным показателем структурной живучести является вероятность наличия хотя бы одного пути установления соединения для передачи по нему сообщений после воздействия на сеть поражающих факторов.

Таким образом, из определения следует, что связность является одним из важнейших свойств сетей связи и может быть использована как показатель структурной живучести. Например, если сеть представлена в виде графа, показанного на рис. 1.27, б, естественно заключение, что такая сеть обладает низкой живучестью, так как удаление единственного корневого узла прерывает все связи и делает сеть несвязной.

Пропускная способность сети связи - возможность сети связи передавать заданные потоки сообщений в единицу времени.

В первичных сетях связи, функционирование которых не зависит от характера циркулирующих в них потоков сообщений, пропускная способность элементов сети (направлений или ветвей связи) определяется числом каналов в этих элементах. В цифровых первичных сетях теоретическая (шенноновская) пропускная способность равна максимальной скорости передачи в канале.

В отличие от первичных во вторичных сетях связи оценка пропускной способности числом каналов или скоростью передачи будет неточной, так как не учитывает возможность выполнения требований по качеству обслуживания заявок.

Современные коммутируемые сети работают, как правило, с потерями. Если в КЦ не может быть найден свободный соединительный путь (внутренняя блокировка) или отсутствует свободный канальный ресурс на ветвях связи (внешняя блокировка), то заявка получает отказ в обслуживании и теряется. Очевидно, что чем больше потери, тем меньшая нагрузка будет у элемента сети. Исходя из этого пропускной способностью вторичной сети связи называется величина, численно равная суммарной интенсивности нагрузки по всем направлениям связи этой сети при обеспечении показателей качества обслуживания, заданных по каждому направлению связи. В соответствии с этим определением можно записать следующее выражение для пропускной способности сети связи

где У i (р i) - пропускная способность i -го направления связи при показателе качества обслуживания, равном р i / - количество направлений связи в сети.

Надежность сети связи - способность сети связи обеспечивать связь, сохраняя во времени значения эксплуатационных показателей в пределах, соответствующих условиям эксплуатации, технического обслуживания, восстановления и ремонта . Надежность сети связи определяет ее возможность обеспечивать передачу информации с заданными вероятностно-временными показателями с учетом влияния технических отказов и восстановлений элементов сети.

Вышеперечисленные свойства сети рассматривались в предположении идеально надежных сетей связи. Однако элементы сети, как и любого технического устройства, подвержены техническим отказам. Вследствие этого вероятность получения источником информации отказа в установлении соединения и передаче сообщения зависит как от технического состояния элементов сети (систем передачи, КЦ и т. д.), так и от их занятости обслуживанием других заявок и передачей других сообщений. За комплексный показатель надежности функционирования сети связи (направления, пути, ветви связи) принимают вероятность Р 0 (t) безотказного обслуживания поступающих в сеть (направления, пути, ветви связи) заявок. Числовые значения этого показателя вычисляются по формуле

Р 0 (t) = Р p y (1.31)

где Р p - вероятность безотказной работы элементов оцениваемой сети связи; у - количество заявок на обслуживание в сети (направлении, пути, ветви связи) с абсолютно надежными элементами. В зависимости от способа обслуживания заявок величина у определяется как

Немаловажными динамическими характеристиками, необходимыми для описания процессов, происходящих в синтезируемых сетях связи, являются их функции.

функция сети связи характеризует проявление ее свойств и представляет собой способ действия сети связи при взаимодействии с внешней средой . Создание сетей начинают с рассмотрения (анализа) функций, которые они должны выполнять, что позволит различить их уже на начальном этапе. Например, функции передачи, коммутации информации и т. д. присущи первичным и вторичным сетям связи, а совокупность функций управления, исследования, контроля может реализовываться системой управления связью, являющейся внешней по отношению к этим сетям.