Медианный фильтр в цифровой обработке сигналов. Недостатки медианных фильтров. Импульсные и точечные шумы
- Медианная фильтрация нелинейна, так как медиана суммы двух произвольных последовательностей не равна сумме их медиан, что в ряде случаев может усложнять математический анализ сигналов.
- Фильтр вызывает уплощение вершин треугольных функций.
- Подавление белого и гауссового шума менее эффективно, чем у линейных фильтров. Слабая эффективность наблюдается также при фильтрации флюктуационного шума.
- При увеличении размеров окна фильтра происходит размытие крутых изменений сигнала и скачков.
Недостатки метода можно уменьшить, если применять медианную фильтрацию с адаптивным изменением размера окна фильтра в зависимости от динамики сигнала и характера шумов (адаптивная медианная фильтрация). В качестве критерия размера окна можно использовать, например, величину отклонения значений соседних отсчетов относительно центрального ранжированного отсчета /1i/. При уменьшении этой величины ниже определенного порога размер окна увеличивается.
16.2. МЕДИАННая ФИЛЬТРАЦИя изображений .
Шумы в изображениях. Никакая система регистрации не обеспечивает идеального качества изображений исследуемых объектов. Изображения в процессе формирования их системами (фотографическими, голографическими, телевизионными) обычно подвергаются воздействию различных случайных помех или шумов. Фундаментальной проблемой в области обработки изображений является эффективное удаление шума при сохранении важных для последующего распознавания деталей изображения. Сложность решения данной задачи существенно зависит от характера шумов. В отличие от детерминированных искажений, которые описываются функциональными преобразованиями исходного изображения, для описания случайных воздействий используют модели аддитивного, импульсного и мультипликативного шумов.
Наиболее распространенным видом помех является случайный аддитивный шум, статистически независимый от сигнала. Модель аддитивного шума используется тогда, когда сигнал на выходе системы или на каком-либо этапе преобразования может рассматриваться как сумма полезного сигнала и некоторого случайного сигнала. Модель аддитивного шума хорошо описывает действие зернистости фотопленки, флуктуационный шум в радиотехнических системах, шум квантования в аналого-цифровых преобразователях и т.п.
Аддитивный гауссов шум характеризуется добавлением к каждому пикселю изображения значений с нормальным распределением и с нулевым средним значением. Такой шум обычно вводится на этапе формирования цифровых изображений. Основную информацию в изображениях несут контуры объектов. Классические линейные фильтры способны эффективно удалить статистический шум, но степень размытости мелких деталей на изображении может превысить допустимые значения. Для решения этой проблемы используются нелинейные методы, например алгоритмы на основе анизотропной диффузии Перрона и Малика, билатеральные и трилатеральные фильтры. Суть таких методов заключается в использовании локальных оценок, адекватных определению контура на изображении, и сглаживания таких участков в наименьшей степени.
Импульсный шум характеризуется заменой части пикселей на изображении значениями фиксированной или случайной величины. На изображении такие помехи выглядят изолированными контрастными точками. Импульсный шум характерен для устройств ввода изображений с телевизионной камеры, систем передачи изображений по радиоканалам, а также для цифровых систем передачи и хранения изображений. Для удаления импульсного шума используется специальный класс нелинейных фильтров, построенных на основе ранговой статистики. Общей идеей таких фильтров является детектирование позиции импульса и замена его оценочным значением, при сохранении остальных пикселей изображения неизменными.
Двумерные фильтры. Медианная фильтрация изображений наиболее эффективна, если шум на изображении имеет импульсный характер и представляет собой ограниченный набор пиковых значений на фоне нулей. В результате применения медианного фильтра наклонные участки и резкие перепады значений яркости на изображениях не изменяются. Это очень полезное свойство именно для изображений, на которых, как известно, контуры несут основную информацию.
| Рис. 16.2.1. |
При медианной фильтрации зашумленных изображений степень сглаживания контуров объектов напрямую зависит от размеров апертуры фильтра и формы маски. Примеры формы масок с минимальной апертурой приведены на рис. 16.2.1. При малых размерах апертуры лучше сохраняются контрастные детали изображения, но в меньшей степени подавляется импульсные шумы. При больших размерах апертуры наблюдается обратная картина. Оптимальный выбор формы сглаживающей апертуры зависит от специфики решаемой задачи и формы объектов. Особое значение это имеет для задачи сохранения перепадов (резких границ яркости) в изображениях.
Под изображением перепада понимаем изображение, в котором точки по одну сторону от некоторой линии имеют одинаковое значение а , а все точки по другую сторону от этой линии - значение b , b ¹a . Если апертура фильтра симметрична относительно начала координат и содержит его в себе, то медианный фильтр сохраняет любое изображение перепада. Это выполняются для всех апертур с нечетным количеством отсчетов, т.е. кроме апертур (квадратные рамки, колца), которые не содержат начала координат. Тем не менее квадратные рамки и кольца будут лишь незначительно изменять перепад.
Рис. 16.2.2.
|
Для упрощения дальнейшего рассмотрения ограничимся примером фильтра с квадратной маской размером N × N, при N=3. Скользящий фильтр просматривает отсчеты изображения слева-направо и сверху-вниз, при этом входную двумерную последовательность также представим в виде последовательного числового ряда отсчетов {x(n)} слева-направо сверху-вниз. Из этой последовательности в каждой текущей точке маска фильтра выделяет массив w(n), как W-элементный вектор, который в данном случае содержит все элементы из окна 3×3, центрированные вокруг x(n), и сам центральный элемент, если это предусмотрено типом маски:
w(n) = . (16.2.1)
В этом случае значения x i соответствует отображению слева-направо и сверху-вниз окна 3×3 в одномерный вектор, как показано на рис. 16.2.2.
Элементы данного вектора, как и для одномерного медианного фильтра, также могут быть упорядочены в ряд по возрастанию или убыванию своих значений:
r(n) = , (16.2.2)
определено значение медианы y(n) = med(r(n)), и центральный отсчет маски заменен значением медианы. Если по типу маски центральный отсчет не входит в число ряда 16.2.1, то медианное значение находится в виде среднего значения двух центральных отсчетов ряда 16.2.2.
Приведенные выражения не объясняют способа нахождения выходного сигнала вблизи конечных и пограничных точек в конечных последовательностях и изображениях. Один из простых приемов состоит в том, что нужно находить медиану только тех точек внутри изображения, которые попадают в пределы апертуры. Поэтому для точек, расположенных рядом с границами, медианы будут определены, исходя из меньшего числа точек.
На рис. 16.2.3 приведен пример очистки зашумленного изображения медианным фильтром Черненко /2i/. Зашумление изображения по площади составляло 15%, для очистки фильтр применен последовательно 3 раза.
 
Рис. 16.1.5.
|
Медианная фильтрация может выполняться и в рекурсивном варианте, при котором значения сверху и слева от центрального отсчета в маске (в данном случае x 1 (n)-x 4 (n) на рис. 16.2.2) в ряде 16.2.1 заменяются на уже вычисленные в предыдущих циклах значения y 1 (n)-y 4 (n).
Адаптивные двумерные фильтры. Противоречие по зависимости степени подавления шумов и искажения сигнала от апертуры фильтра в некоторой степени сглаживается при применении фильтров с динамическим размером маски, с адаптацией размеров апертуры под характер изображения. В адаптивных фильтрах большие апертуры используются в монотонных областях обрабатываемого сигнала (лучшее подавление шумов), а малые – вблизи неоднородностей, сохраняя их особенности, при этом размер скользящего окна фильтра устанавливается в зависимости от распределения яркости пикселей в маске фильтра. В их основе лежит, как правило, анализ яркости окрестностей центральной точки маски фильтра.
Простейшие алгоритмы динамического изменения апертуры фильтра, симметричного по обеих осям, обычно работают по заданному на основании эмпирических данных пороговому коэффициенту яркости S порог = . В каждом текущем положении маски на изображении итерационный процесс начинается с апертуры минимального размера. Величины отклонения яркости соседних пикселей A(r, n), попавших в окно размером (n x n), относительно яркости центрального отсчета A(r) вычисляются по формуле:
S n (r) = |A(r,n)/A(r) – 1|. (16.2.3)
Критерий, согласно которому производится увеличение размера маски с центральным отсчетом r и выполняется следующая итерация, имеет вид:
max < S порог. (16.2.4)
Максимальный размер маски (количество итераций), как правило, ограничивается. Для неквадратных масок, имеющих размеры (n x m), итерации могут вычисляться с раздельным увеличением параметров n и m, а также с изменением формы масок в процессе итераций.
Фильтры на основе ранговой статистики . В последние два десятилетия в цифровой обработке изображений активно развиваются нелинейные алгоритмы на основе ранговой статистики для восстановления изображений, поврежденных различными моделями шумов. Подобные алгоритмы позволяют избежать дополнительного искажения изображения при удалении шума, а также значительно улучшить результаты работы фильтров на изображениях с высокой степенью зашумленности.
Сущность ранговой статистики обычно заключается в том, что ряд 16.2.1 не включает центральный отсчет маски фильтра, и по ряду 16.2.2 производится вычисление значения m(n). При N=3 по рис. 16.2.2:
m(n) = (x 4 (n)+x 5 (n))/2. (16.2.5)
Вычисление выходного значения фильтра, которым заменяется центральный отсчет, выполняется по формуле:
y(n) = a x(n) + (1-a) m(n). (16.2.6)
Значение коэффициента доверия a связывается определенной зависимостью со статистикой отсчетов в окне фильтра (например, полной дисперсией отсчетов, дисперсией разностей x(n)-x i (n) или m(n)-x i (n), дисперсией положительных и отрицательных разностей x(n)-x i (n) или m(n)-x i (n), и т.п.). По существу, значение коэффициента a должно задавать степень поврежденности центрального отсчета и, соответственно, степень заимствования для его исправления значения из отсчетов m(n). Выбор статистической функции и характер зависимости от нее коэффициента a может быть достаточно многообразным и зависит как от размеров апертуры фильтра, так и от характера изображений и шумов.
литература
44. Большаков И.А., Ракошиц В.С. Прикладная теория случайных потоков, М.: Сов. радио, 1978,- 248с.
46. Хуанг Т.С. и др. Быстрые алгоритмы в цифровой обработке изображений. – М.: Радио и связь, 1984. – 224 с.
47. Сойфер В.А. Компьютерная обработка изображений. Часть 2. Методы и алгоритмы. – Соросовский образовательный журнал №3, 1996.
48. Апальков И.В., Хрящев В.В. Удаление шума из изображений на основе нелинейных алгоритмов с использованием ранговой статистики. - Ярославский государственный университет, 2007.
1i. Яровой Н.И. Адаптивная медианная фильтрация. - http://www.controlstyle.ru/articles/science/text/amf/
2i. Черненко С.А. Медианный фильтр. - http://www.logis-pro.kiev.ua/math_power_medianfilter_ru.html.
3i. Радченко Ю.С. Эффективность приема сигналов на фоне комбинированной помехи с дополнительной обработкой в медианном фильтре. – "Журнал радиоэлектроники", №7, 2001. / http://jre.cplire.ru/iso/jul01/2/text.html
О замеченных ошибках и предложениях по дополнению: [email protected].
Copyright ©2008 Davydov А.V.
Введение
Медианный фильтр - один из видов цифровых фильтров, широко используемый в цифровой обработке сигналов и изображений для уменьшения уровня шума.
Реализуется с помощью окна, состоящего из нечётного количества отсчётов. Значения отсчётов внутри окна сортируются по порядку; и среднее значение, то есть значение находящееся в середине упорядоченного списка, принимается выходным значением. На следующем шаге окно передвигается на один отсчёт вперёд и вычисления повторяются. Крайние значения массива мыслим продублированными столько раз, чтобы можно было применить окно к первому и к последнему значению.
Медианная фильтрация - обычная процедура обработки изображений. Она особенно часто используется для уменьшения шума в изображении.
Постановка задачи
Дана матрица NxN. Необходимо реализовать параллельный алгоритм медианной фильтрации этой матрицы.
Метод решения
(Примечание: для простоты был реализован фильтр 3x3)
Последовательный алгоритм:
Фильтрация проводится построчно – для первого элемента строки заполняется массив окрестности (с учетом того, что искусственно добавляются три значения-соседи слева), этот массив сортируется быстрой сортировкой, затем среднее значение записывается в выходную матрицу. Для каждого следующего элемента строки массив окрестности не заполняется заново – в него лишь добавляются новые три элемента, замещая старые три. Для того, чтобы это было возможно сделать за один проход (по массиву окрестности и новым трем элементам) введен специальный массив с «количеством жизней» элемента. Жизней может быть 1, 2 и 3. Добавляемые 3 элемента предварительно сортируются и добавление производится слиянием: во время него элементы с 1й жизнью затираются, элементы, имевшие 2 и 3 жизни получают 1 и 2 соответственно, а добавляемые элементы становятся обладателями 3х жизней. Средний элемент записывается в выходной массив. Обработка последнего элемента производится повторением итерации предпоследнего шага. На практике данный метод по сравнению с полной выборкой окрестности и ее сортировкой показывает превосходство по скорости в 3 раза.
Параллельный алгоритм:
(Примечание: размерность матрицы была ограничена значениями кратными двойке)
Т.к. в данной задаче наблюдается независимость по данным, параллелизм производится на основе деления матрицы на части (по несколько строк, а именно N/p, где p –количество процессов). Если учесть что в персональных компьютерах обычно 1, 2, 4 или 8 ядер у процессора, то деление будет производиться без остатка. После деления матрицы на части по высоте – они обрабатываются последовательным алгоритмом, но необходимо учесть, то при этом невозможно обработать граничные строки (за исключением первой и последней в матрице) – после завершения параллельных вычислений, части собираются обратно в одну матрицу, а оставшиеся строки необходимо отфильтровать отдельно.
Анализ эффективности
Время фильтрации 1го элемента строки:
(2*9+9*ln(9)*2+1)*t , где t - время выполнения одной операции.
- (2*9 операций – заполнение массива окрестности и соответствующего массива «жизней»
- 9*ln(9)*2 – быстрая сортировка массивов
Фильтрация последующих элементов строки:
- 9+3 – проход по массиву окрестности с добавлением новых элементов и удалением старых
- 18 – копирование массива окрестности и массива «жизней» из вспомогательных массивов
- 1 – выборка и присваивание медианы выходному элементу
Итого на требующееся на фильтрацию строки время:
((2*9+9*ln(9)*2)+1+(N-1)*(9+3+18+1))*t ≈(21N+37)*t
Время на фильтрацию всей матрицы:
Tp = (α+ω/β*N^2/p)+(21N+37)*t*(N/p+2*(p-1))
- α – латентность
- β - пропускная способность среды передачи
- ω - размер элемента матрицы
- 2*(p-1) – количество строк, оставшихся неотфильтрованными при делении матрицы на части)
T1 = (21N+37)*t*N
Ускорение: Sp = (T1)/(Tp) = ((21N+37)*t*N)/((21N+37)*t*(N/p+2*(p-1))+α+ω/β*N^2/p) = βp/ (β+ω/21) ,при N→∞
Эффективность: Ep = (Sp)/p = β/(β+ω/21) ,при N→∞
Демонстрация
|
Ширина матрицы |
Время выполнения (сек) |
|||||||
Сравнение теоретических оценок ускорения с практическими:
|
Ширина матрицы |
||||||
Характеристики машины: Intеl Core i7 920 @ 2.80GHz 2.00ГБ ОЗУ
латентность: a = 0,00005 cек
пропускная способность: b = 25,6 ГБ/с
время выполнения стандартной операции: t = 0,000000004912 сек
размер элемента набора: w = 4
Работу выполнили студенты группы 8411: Муравьев Владимир и Соловьев Павел
Медианная фильтрация – метод нелинейной обработки сигналов, разработанный Тьюки. Этот метод оказывается полезным при подавлении шума на изображении. Одномерный медианный фильтр представляет собой скользящее окно, охватывающее нечетное число элементов изображения. Центральный элемент заменяется медианой всех элементов в окне. Медианой дискретной последовательности для нечетного N является тот ее элемент, для которого существуют элементов, меньших или равных ему по величине, и элементов, больших или равных ему по величине.
Пусть в окно попали элементы изображения с уровнями 80, 90, 200, 110 и 120; в этом случае центральный элемент следует заменить значением 110, которое является медианой упорядоченной последовательности 80, 90, 110, 200. Если в этом примере значение 200 является шумовым выбросом в монотонно возрастающей последовательности, то медианная фильтрация обеспечит существенное улучшение. Напротив, если значение 200 соответствует полезному импульсу сигнала (при использовании широкополосных датчиков), то обработка приведет к потере четкости воспроизводимого изображения. Таким образом, медианный фильтр в одних случаях обеспечивает подавление шума, в других вызывает нежелательное подавление сигнала.
Рассмотрим воздействие медианного и усредняющего (сглаживающего) фильтров с пятиэлементным окном на ступенчатый, пилообразный, импульсный и треугольный дискретные сигналы (рис. 4.23). Из этих диаграмм, видно, что медианный фильтр не влияет на ступенчатые или пилообразные функции, что обычно является желательным свойством. Однако этот фильтр подавляет импульсные сигналы, длительность которых
составляет менее половины ширины окна. Фильтр также вызывает уплощение вершины треугольной функции.
Возможности анализа действия медианного фильтра ограничены. Можно показать, что медиана произведения постоянной и последовательности равна:
кроме того,
Однако медиана суммы двух произвольных последовательностей и не равна сумме их медиан:
Это неравенство можно проверить на примере последовательностей 80, 90, 100, 110, 120 и 80, 90, 100, 90, 80.
Возможны различные стратегии применения медианного фильтра для подавления шумов. Одна из них рекомендует начинать с медианного фильтра, окно которого охватывает три элемента изображения. Если ослабление сигнала незначительно, окно фильтра расширяют до пяти элементов. Так поступают до тех пор, пока медианная фильтрация начинает приносить больше вреда, чем пользы.
Другая возможность состоит в осуществлении каскадной медианной фильтрации сигнала с использованием фиксированной или изменяемой ширины окна. В общем слу
чае те области, которые остаются без изменения после однократной обработки фильтром, не меняются и после повторной обработки. Области, в которых длительность импульсных сигналов составляет менее половины ширины окна, будут подвергаться изменениям после каждого цикла обработки.
Концепцию медианного фильтра легко обобщить на два измерения, применяя двумерное окно желаемой формы, например прямоугольное или близкое к круговому. Очевидно, что двумерный медианный фильтр с окном размера обеспечивает более эффективное подавление шума, чем последовательно примененные горизонтальный и вертикальный одномерные медианные фильтры с окном размера . Двумерная обработка, однако, приводит к более существенному ослаблению сигнала.
ВВЕДЕНИЕ
Лекция 16. МЕДИАННЫЕ ФИЛЬТРЫ
Медианные фильтры достаточно часто применяются на практике как средство предварительной обработки цифровых данных. Специфической особенностью фильтров является слабая реакция на отсчеты, резко выделяющиеся на фоне соседних. Это свойство позволяет применять медианную фильтрацию для устранения аномальных значений в массивах данных, уменьшения импульсных помех. Характерной особенностью медианного фильтра является его нелинейность. Во многих случаях применение медианного фильтра оказывается более эффективным по сравнению с линейными фильтрами, поскольку процедуры линейной обработки являются оптимальными при равномерном или гауссовом распределении помех, что в реальных сигналах может быть далеко не так. В случаях, когда перепады значений сигналов велики по сравнению с дисперсией аддитивного белого шума, медианный фильтр дает меньшее значение среднеквадратической ошибки по сравнению с оптимальными линейными фильтрами. Особенно эффективным медианный фильтр оказывается при очистке сигналов от импульсных шумов при обработке изображений, акустических сигналов, передаче кодовых сигналов и т.п. Однако детальные исследования свойств медианных фильтров как средства фильтрации сигналов различного типа являются довольно редкими.
Принцип фильтрации. Медианный фильтр представляет собой оконный фильтр, последовательно скользящий по массиву сигнала, и возвращающий на каждом шаге один из элементов, попавших в окно (апертуру) фильтра. Выходной сигнал y k скользящего медианного фильтра шириной 2n+1 для текущего отсчета k формируется из входного временного ряда …, x k -1 , x k , x k +1 ,… в соответствии с формулой:
y k = Me(x k - n , x k - n +1 ,…, x k -1 , x k , x k +1 ,…, x k + n -1 , x k + n), (16.1.1)
где Me(x 1 , …, x m , …, x 2n+1) = x n+1 , x m – элементы вариационного ряда, т.е. ранжированные в порядке возрастания значений x m: x 1 = min(x 1 , x 2 ,…, x 2n+1) ≤ x (2) ≤ x (3) ≤ … ≤ x 2n+1 = max(x 1 , x 2 ,…, x 2n+1).
Одномерные фильтры. Медианная фильтрация реализуется в виде процедуры локальной обработки отсчетов в скользящем окне, которое включает определенное число отсчетов сигнала. Для каждого положения окна выделенные в нем отсчеты ранжируются по возрастанию или убыванию значений. Средний по своему положению отчет в ранжированном списке называется медианой рассматриваемой группы отсчетов. Этим отсчетом заменяется центральный отсчет в окне для обрабатываемого сигнала.
Алгоритм медианной фильтрации обладает явно выраженной избирательностью к элементам массива с немонотонной составляющей последовательности чисел в пределах апертуры и наиболее эффективно исключает из сигналов одиночные выбросы, отрицательные и положительные, попадающие на края ранжированного списка. С учетом ранжирования в списке медианные фильтры хорошо подавляют шумы и помехи, протяженность которых составляет менее половины окна. Монотонные составляющие сигналов медианный фильтр оставляет без изменений.
| Рис. 16.1.1. |
Благодаря этой особенности, медианные фильтры при оптимально выбранной апертуре могут сохранять без искажений резкие границы объектов, подавляя некоррелированные и слабо коррелированные помехи и малоразмерные детали. При аналогичных условиях алгоритмы линейной фильтрации неизбежно «смазывает» резкие границы и контуры объектов. На рис. 16.1.1 приведен пример обработки сигнала с импульсными шумами медианным и треугольным фильтрами с одинаковыми размерами окна N=3. Преимущество медианного фильтра очевидно.
Окно медианного фильтра, как правило, устанавливается нечетным. В общем случае окно может быть и четным, при этом медиана устанавливается, как среднее арифметическое двух средних отсчетов. В качестве начальных и конечных условий фильтрации обычно принимаются концевые значения сигналов, либо медиана находится только для тех точек, которые вписываются в пределы апертуры.
Рис. 16.1.2.
|
На рис. 16.1.2 приведен пример медианной фильтрации модельного сигнала a k , составленного из детерминированного сигнала s k в сумме со случайным сигналом q k , имеющим равномерное распределение с одиночными импульсными выбросами. Окно фильтра равно 5. Результат фильтрации – отсчеты b k .
Двумерные фильтры. Основную информацию в изображениях несут контуры объектов. При фильтрации зашумленных изображений степень сглаживания контуров объектов напрямую зависит от размеров апертуры фильтра. При малых размерах апертуры лучше сохраняются контрастные детали изображения, но в меньшей степени подавляется импульсные шумы. При больших размерах апертуры наблюдается обратная картина. Это противоречие в некоторой степени сглаживается при применении фильтров с адаптацией размеров апертуры под характер изображения. В адаптивных фильтрах большие апертуры используются в монотонных областях обрабатываемого сигнала (лучшее подавление шумов), а малые – вблизи неоднородностей, сохраняя их.
Рис. 16.1.3.
|
Кроме размеров окна эффективность фильтра в зависимости от характера изображения и параметров статистики шумов существенно зависит от формы маски выборки отсчетов. Примеры формы масок с минимальной апертурой приведены на рис. 16.1.3. Оптимальный выбор формы сглаживающей апертуры зависит от специфики решаемой задачи и формы объектов.
На рис. 16.1.4 приведен пример очистки зашумленного изображения медианным фильтром Черненко /2i/. Зашумление изображения по площади составляло 15%, для очистки фильтр применен последовательно 3 раза.
 
Рис. 16.1.4.
|
Достоинства медианных фильтров.
- Простая структура фильтра как для аппаратной, так и для программной реализации.
- Фильтр не изменяет ступенчатые и пилообразные функции.
- Фильтр хорошо подавляет одиночные импульсные помехи и случайные шумовые выбросы отсчетов.
- Медианный фильтр легко реализуется на два измерения с двухмерным окном любой формы (прямоугольное, крестообразное, кольцевое, круговое).
Недостатки медианных фильтров.
- Медианная фильтрация нелинейна, так как медиана суммы двух произвольных последовательностей не равна сумме их медиан, что в ряде случаев может усложнять математический анализ сигналов.
- Фильтр вызывает уплощение вершин треугольных функций.
- Подавление белого и гауссового шума менее эффективно, чем у линейных фильтров. Слабая эффективность наблюдается также при фильтрации флюктуационного шума.
- Двумерная обработка приводит к более существенному ослаблению сигнала. При увеличении размера окна происходит также размытие контуров изображений.
Недостатки метода можно уменьшить, если применять медианную фильтрацию с адаптивным изменением размера окна фильтра в зависимости от динамики сигнала и характера шумов (адаптивная медианная фильтрация). В качестве критерия размера окна можно использовать, например, величину отклонения значений соседних отсчетов относительно яркости центрального ранжированного отсчета /1i/. При уменьшении этой величины ниже определенного порога размер окна увеличивается.
В настоящее время методы цифровой обработки сигналов получили широкое распространение в телевидении, радиотехнике, системах связи, управления и контроля. Одной из самых распространённых операций при такой обработке является цифровая фильтрация сигналов.
Медианная фильтрация была предложена Тьюки в качестве инструмента сглаживания временных рядов, встречающихся в экономических исследованиях , а в дальнейшем она стала широко применяться при обработке изображений, речевых сигналов и т. п. Медианная фильтрация осуществляется посредством движения некоторой апертуры вдоль последовательности дискретных отсчётов и замены значения в центре апертуры медианой исходных отсчётов внутри апертуры.
Рис. 1
Cущность медианной фильтрации с трехотсчётным окном иллюстрируется на рис. 1, где “1” - непрозрачная пластина с тремя отверстиями А, В и С; 2 - лента с наносимыми на ней отсчётами и располагаемыми с шагом, равным расстоянию между отверстиями. Лента протягивается дискретно на один шаг за один такт. В отверстиях одновременно наблюдаются три отсчёта, из которых выбирается средний. Не среднее арифметическое значение, не отсчёт в среднем отверстии, а среднее значение из трёх упорядоченно расположенных отсчётов. Так, упорядочив отсчёты, показанные на рис. 1, мы имеем значения 24, 27, 29, то есть средним является отсчёт 27 в отверстии А.
В общем случае медианой
последовательности y1, y2, ... , ym (m - нечётное) является средний по значению член ряда, получаемый после упорядочения последовательности по возрастанию. Для чётного m медиана определяется как среднее арифметическое двух средних членов. В литературе можно найти и другие определения, но они мало отличаются друг от друга, а в подавляющем большинстве случаев принимают m нечётным .
Хотя структура одномерного цифрового медианного фильтра с трехотсчётным окном известна , здесь она рассматривается как пример инженерного проектирования
цифрового устройства с простым и легко понятным алгоритмом работы, выполненного с применением комбинационных узлов, описанных в предыдущих статьях учебного цикла .
В цифровой системе функции отверстий А, В и С (рис. 1) выполняют три регистра А, В и С (рис. 2). Регистр А является регистром данных какого-либо устройства, работающего в условиях сильных промышленных помех, например, преобразователя температуры в цифру. Все эти регистры имеют единую систему синхронизации, обеспечивающую запись данных в регистр А, загрузку содержимого регистра А в регистр В и содержимого регистра В в регистр С. Перед началом процедуры фильтрации все регистры обнуляются. Началом процедуры является момент появления первого отсчёта в регистре А. Так, например, если входная последовательность имеет вид 22, 29, 24, 27, 31, 40, 28, 32, 29,... (22 - первый отсчёт), то в первом такте будем иметь следующие значения отсчётов: А = 22, В = 0, С = 0, откуда следует, что средний отсчёт равен 0. Во втором такте будем иметь А = 29, В = 22, С = 0, откуда следует, что средний отсчёт равен 22 и т. д. Итак, выходная последовательность будет иметь вид: 0, 22, 24, 27, 27, 31, 31, 32, 29,... .
Рис. 2
Очевидно, что медианный фильтр с трехотсчётным окном осуществляет задержку выходной последовательности на один такт по отношению к входной.
Кроме указанных регистров аппаратная реализация такого фильтра должна включать в себя n-разрядный мультиплексор MS 4->1, в котором будут использоваться только три информационных входа (n - число двоичных разрядов цифрового отсчёта), и три цифровых компаратора, обеспечивающих сравнение каждого отсчёта с каждым, что можно рассматривать как замену процедуры упорядочения. Это позволяет снизить аппаратные затраты и время вычисления медианы. Напомним, что упорядочение требует выполнения операций сравнения и перестановки отсчётов.
Отметим прежде всего, что нет необходимости учитывать отношения равенства отсчётов, так как при равенстве двух или трёх отсчётов любой из них может рассматриваться как средний. Выберем соотношения A > B, A > C, B > C, обозначив соответствующие сигналы с выходов трёх цифровых компараторов переменными x2, x1 и x0. Примем, что если указанные соотношения выполняются, то соответствующие выходные сигналы компараторов принимают значение “1”, если не выполняются, то - “0”. Итак, задача проектирования нашего фильтра сводится к выявлению структуры комбинационной схемы (КС), реализующей адресные переменные а1 и а0 мультиплексора MS 4->1, обеспечивающего автоматическую передачу среднего отсчёта из трёх, поступивших на его информационные входы.
Оформим таблицу, в которой представлены: № набора - десятичный эквивалент двоичного набора трёх переменных x2, x1 и x0; комментарий - это условная гистограмма из трёх отсчётов А, В и С, качественно соответствующая ситуации, отражённой одним из восьми наборов переменных x2, x1 и x0; в столбце “средний отсчёт” указывается средний отсчёт, выявленный из соответствующей гистограммы. Так, в первой строке имеем набор x2x1x0 = 000, из которого следует, что A < B, A < C, B < C. Эта ситуация качественно показана в столбце “комментарий”, из которого следует, что в данном случае средним является отсчёт В. Так как на рис. 2 отсчёт В поступает на вход D1 MS 4->1, то в этой строке указываем значения а1 = 0, а0 = 1 (первый вариант кодирования адресных переменных в таблице). При наборе x2x1x0 = 001 имеем ситуацию A < B, A < C, B > C, которая отражена соответствую-щей гистограммой, а из послед-ней следует, что средним отсчётом в данном случае является отсчёт С. Соответственно устанавливаем а1 = 1, а0 = 0.
Таблица
| № наб. | х2 А>В |
х1 А>С |
х0 В>С |
Средний отсчет | 1 вариант | 2 вариант | ||
| а1 | а0 | а1 | а0 | |||||
| 0 | 0 | 0 | 0 | В | 0 | 1 | 0 | 0 |
| 1 | 0 | 0 | 1 | С | 1 | 0 | 1 | 0 |
| 2 | 0 | 1 | 0 | - | х | х | х | х |
| 3 | 0 | 1 | 1 | А | 0 | 0 | 0 | 1 |
| 4 | 1 | 0 | 0 | А | 0 | 0 | 0 | 1 |
| 5 | 1 | 0 | 1 | - | х | х | х | х |
| 6 | 1 | 1 | 0 | С | 1 | 0 | 1 | 0 |
| 7 | 1 | 1 | 1 | В | 0 | 1 | 0 | 0 |
Набор x2x1x0 = 010 никогда не будет появляться на выходах цифровых компараторов, так как он соответствует невозможной ситуации A < B, A > C, B < C, поэтому в соответствующей строке таблицы адресные переменные а1 и а0 обозначены крестиком как безразличные значения. Аналогично заполняются все строки таблицы. Рассматривая а1 и а0 как функции алгебры логики от переменных x2, x1 и x0 и используя для их минимизации карты Карно (рис. 3) , получаем
а1 = x1 Е x0 (1)
а0 = x2 Е x0 или x2 Е x0. (2)
Попытаемся устранить инвертор, необходимый для реализации x2 или x0 в формуле (2). Для этого перекодируем адресные переменные а1 и а0, приняв, что отсчёт А подаётся на вход D1, а В - на вход D0 MS 4®1 (второй вариант в таблице). На рис. 4 приведены карты Карно для второго варианта кодирования адресных переменных а1 и а0, из которых следует:
а1 = x1 Е x0 (3)
а0 = x2 Е x1.
(4)
 |
 |
Рис. 3 |
Рис. 4 |
Очевидно, что второй вариант кодирования предпочтительнее. Итак, комбинационная схема (КС), структуру которой мы определили, представляет из себя два элемента “сумма по mod2”.
Убедимся в справедливости отмеченного выше замечания о том, что нет необходимости учитывать соотношения равенства. Рассмотрим следующие ситуации:
- А = В, A > C, в этом случае x2x1x0 = 011, средний отсчёт А;
- А = В, A < C, в этом случае x2x1x0 = 000, средний отсчёт В;
- А = С, A > В, в этом случае x2x1x0 = 100, средний отсчёт А;
- А = С, A < B, в этом случае x2x1x0 = 001, средний отсчёт C;
- B = C, A > B, в этом случае x2x1x0 = 110, средний отсчёт C;
- B = C, A < B, в этом случае x2x1x0 = 000, средний отсчёт B;
- А = В = C, в этом случае x2x1x0 = 000, средний отсчёт В.
Если на выходах цифровых компараторов используются соотношения “больше или равно”, то будем иметь:
- А = В, A > C, в этом случае x2x1x0 = 111, средний отсчёт В;
- А = В, A < C, в этом случае x2x1x0 = 100, средний отсчёт А;
- А = С, A > В, в этом случае x2x1x0 = 110, средний отсчёт С;
- А = С, A < B, в этом случае x2x1x0 = 011, средний отсчёт А;
- B = C, A > B, в этом случае x2x1x0 = 111, средний отсчёт В;
- B = C, A < B, в этом случае x2x1x0 = 001, средний отсчёт С;
- А = В = C, в этом случае x2x1x0 = 111, средний отсчёт В.
Достоинства и недостатки медианных фильтровДостоинства
Недостатки
|
Проведённый анализ подтверждает то, что при проектировании структуры комбинационной схемы КС можно использовать на выходах цифровых компараторов любые комбинации соотношений “больше”, “больше или равно”, “меньше”, “меньше или равно”.
Литература
