Методичка: Программа Mathcad и ее использование. Пособие MathCAD ° вращение графика выполняется после наведения на него указателя мыши при нажатой левой кнопке мыши

Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

1. Рабочее окно MathCAD

· Панель Математика (рис. 1.4).

Рис. 1.4. Панель Математика

При щелчке на кнопке математической панели инструментов открывается дополнительная панель:

2. Элементы языка MathCAD

К основным элементам математических выражений MathCAD относятся операторы, константы, переменные, массивы и функции.

2.1 Операторы

Операторы -- элементы MathCAD, с помощью которых можно создавать математические выражения. К ним, например, относятся символы арифметических операций, знаки вычисления сумм, произведений, производной, интеграла и т.д.

Оператор определяет:

а) действие, которое должно выполняться при наличии тех или иных значений операндов;

б) сколько, где и какие операнды должны быть введены в оператор.

Операнд -- число или выражение, на которое действует оператор. Например, в выражении 5!+3 числа 5! и 3 -- операнды оператора «+» (плюс), а число 5 -- операнд факториала (!).

Любой оператор в MathCAD можно ввести двумя способами:

· нажав клавишу (сочетание клавиш) на клавиатуре;

· используя математическую панель.

Для присвоения или вывода содержимого ячейки памяти, связанной с переменной, используются следующие операторы:

--знак присвоения (вводится нажатием клавиши : на клавиатуре (двоеточие в английской раскладке клавиатуры) или нажатием соответствующей кнопки на панели Калькулятор );

Такое присвоение называется локальным . До этого присваивания переменная не определена и ее нельзя использовать.

-- глобальный оператор присвоения. Это присвоение может производиться в любом месте документа. К примеру, если переменной присвоено таким образом значение в самом конце документа, то она будет иметь это же значение и в начале документа.

-- оператор приближенного равенства (x1). Используется при решении систем уравнений. Вводится нажатием клавиши; на клавиатуре (точка с запятой в английской раскладке клавиатуры) или нажатием соответствующей кнопки на Булевой панели.

= -- оператор (простое равно), отведенный для вывода значения константы или переменной.

Простейшие вычисления

Процесс вычисления осуществляется при помощи:

Панели Калькулятора, Панели Исчислений и Панели Оценки.

Внимание . Если необходимо поделить все выражение в числителе, то его нужно первоначально выделить, нажав пробел на клавиатуре или поместив в скобки.

2.2 Константы

Константы -- поименованные объекты, хранящие некоторые значения, которые не могут быть изменены.

Например, = 3.14.

Размерные константы -- это общепринятые единицы измерения. Например, метры, секунды и т.д.

Чтобы записать размерную константу, необходимо после числа ввести знак * (умножить), выбрать пункт меню Вставка подпункт Юнит . В измерениях наиболее известные вам категории: Length -- длина (м, км, см); Mass -- вес (гр, кг, т); Time -- время (мин, сек, час).

2.3 Переменные

Переменные являются поименованными объектами, имеющими некоторое значение, которое может изменяться по ходу выполнения программы. Переменные могут быть числовыми, строковыми, символьными и т.д. Значения переменным задаются с помощью знака присвоить (: =).

Внимание . MathCAD прописные и строчные буквы воспринимает как разные идентификаторы.

Системные переменные

В MathCAD содержится небольшая группа особых объектов, которые нельзя отнести ни к классу констант, ни к классу переменных, значения которых определены сразу после запуска программы. Их правильнее считать системными переменными. Это, например, TOL - погрешность числовых расчетов, ORIGIN -- нижняя граница значения индекса индексации векторов, матриц и др. Значения этим переменным при необходимости можно задать другие.

Ранжированные переменные

Эти переменные имеют ряд фиксированных значений, либо целочисленных, либо изменяющихся с определенным шагом от начального значения до конечного.

Для создания ранжированной переменной используется выражение:

Name =N begin ,(N begin +Step)..N end ,

где Name -- имя переменной;

N begin -- начальное значение;

Step -- заданный шаг изменения переменной;

N end -- конечное значение.

Ранжированные переменные широко применяются при построении графиков. Например, для построения графика некоторой функции f (x ) прежде всего необходимо создать ряд значений переменной x -- для этого она должна быть ранжированной переменной.

Внимание. Если в диапазоне изменения переменной не указывать шаг, то про грамма автоматически примет его равным 1.

Пример . Переменная x изменяется в диапазоне от -16 до +16 с шагом 0.1

Чтобы записать ранжированную переменную, нужно ввести:

Имя переменной (x );

Знак присвоения (:=)

Первое значение диапазона (-16);

Запятую;

Второе значение диапазона, которое является суммой первого значения и шага (-16+0.1);

Многоточие (.. ) -- изменение переменной в заданных пределах (многоточие вводится нажатием точки с запятой в английской раскладке клавиатуры);

Последнее значение диапазона (16).

В результате у вас получится: x := -16,-16+0.1..16.

Таблицы вывода

Любое выражение с ранжированными переменными после знака равенства инициирует таблицу вывода.

В таблицы вывода можно и вставлять числовые значения и корректировать их.

Переменная с индексом

Переменная с индексом -- это переменная, которой присвоен набор не связанных друг с другом чисел, каждое из которых имеет свой номер (индекс).

Ввод индекса осуществляется нажатием левой квадратной скобки на клавиатуре или при помощи кнопки x n на панели Калькулятор .

В качестве индекса можно использовать как константу, так и выражение. Для инициализации переменной с индексом необходимо ввести элементы массива, разделяя их запятыми.

Пример . Ввод индексных переменных.

Ввод числовых значений в таблицу производится через запятую;

Вывод значения первого элемента вектора S;

Вывод значения нулевого элемента вектора S.

2.4 Массивы

Массив -- имеющая уникальное имя совокупность конечного числа числовых или символьных элементов, упорядоченных некоторым образом и имеющих определенные адреса.

В пакете MathCAD используются массивы двух наиболее распространенных типов:

одномерные (векторы);

двухмерные (матрицы).

Вывести шаблон матрицы или вектора можно одним из способов:

выбрать пункт меню Вставка - Матрица ;

нажать комбинацию клавиш Ctrl + M ;

нажать кнопку на Панел и векторов и матриц.

В результате появится диалоговое окно, в котором задается необходимое число строк и столбцов:

Rows -- число строк

Columns -- число столбцов

Если матрице (вектору) нужно присвоить имя, то вначале вводится имя матрицы (вектора), затем -- оператор присвоения и после -- шаблон матрицы.

Например :

Матрица -- двухмерный массив с именем М n , m , состоящий из n строк и m столбцов.

С матрицами можно выполнять различные математические операции.

2.5 Функции

Функция -- выражение, согласно которому производятся некоторые вычисления с аргументами и определяется его числовое значение. Примеры функций: sin (x ), tan (x ) и др.

Функции в пакете MathCAD могут быть как встроенными, так и определенными пользователем. Способы вставки встроенной функции:

Выбрать пункт меню Вставка - Функция .

Нажать комбинацию клавиш Ctrl + E .

Щелкнуть по кнопке на панели инструментов.

Набрать имя функции на клавиатуре.

Функции пользователя обычно используются при многократных вычислениях одного и того же выражения. Для того чтобы задать функцию пользователя необходимо:

· ввести имя функции с обязательным указанием в скобках аргумента, например, f(x);

· ввести оператор присвоения (:=);

· ввести вычисляемое выражение.

Пример . f(z ) := sin(2z 2)

3. Форматирование чисел

В MathCAD можно изменить формат вывода чисел. Обычно вычисления производятся с точностью 20 знаков, но выводятся на экран не все значащие цифры. Чтобы изменить формат числа, необходимо дважды щелкнуть на нужном численном результате. Появится окно форматирования чисел, открытое на вкладке Number Format (Формат чисел) со следующими форматами:

o General (Основной) -- принят по умолчанию. Числа отображаются с порядком (например, 1.2210 5). Число знаков мантиссы определяется в поле Exponential Threshold (Порог экспоненциального представления). При превышении порога число отображается с порядком. Число знаков после десятичной точки меняется в поле Number of decimal places .

o Decimal (Десятичный) -- десятичное представление чисел с плавающей точкой (например, 12.2316).

o Scientific (Научный) -- числа отображаются только с порядком.

o Engineering (Инженерный) -- числа отображаются только с порядком, кратным трем (например, 1.2210 6).

Внимание . Если после установления нужного формата в окне форматирования чисел выбрать кнопку Ок , формат установится только для выделенного числа. А если выбрать кнопку Set as Default, формат будет применен ко всем числам данного документа.

Автоматически числа округляются до нуля, если они меньше установленного порога. Порог устанавливается для всего документа, а не для конкретного результата. Для того чтобы изменить порог округления до нуля, необходимо выбрать пункт меню Форматирование - Результат и во вкладке Tolerance , в поле Zero threshold ввести необходимое значение порога.

4 . Работа с текстом

Текстовые фрагменты представляют собой куски текста, которые пользователь хотел бы видеть в своем документе. Это могут быть пояснения, ссылки, комментарии и т.д. Они вставляются при помощи пункта меню Вставка - Текстовый регион .

Вы можете отформатировать текст: поменять шрифт, его размер, начертание, выравнивание и т.д. Для этого нужно его выделить и выбрать соответствующие параметры на панели шрифтов или в меню Форматирование - Текст .

5. Работа с графикой

При решении многих задач, где производится исследование функции, часто возникает необходимость в построении ее графика, где наглядно будет отражено поведение функции на определенном промежутке.

В системе MathCAD существует возможность построения различных видов графиков: в декартовой и полярной системе координат, трехмерных графиков, поверхностей тел вращения, многогранников, пространственных кривых, графиков векторного поля. Мы рассмотрим приемы построения некоторых из них.

5.1 Построение двухмерных графиков

Для построения двухмерного графика функции необходимо:

· задать функцию;

· установить курсор в то место, где должен быть построен график, на математической панели выбрать кнопку Graph (график) и в открывшейся панели кнопку X-Y Plot (двухмерный график);

· в появившемся шаблоне двухмерного графика, представляющем собой пустой прямоугольник с метками данных, в центральную метку данных по оси абсцисс (ось X) ввести имя переменной, а на месте центральной метки данных по оси ординат (ось Y) ввести имя функции (рис. 2.1);\

Рис. 2.1. Шаблон двухмерного графика

щелкнуть мышью вне шаблона графика -- график функции будет построен.

Диапазон изменения аргумента состоит из 3-х значений: начальное, второе и конечное.

Пусть необходимо построить график функции на интервале [-2,2] с шагом 0.2. Значения переменной t задаются в виде диапазона следующим образом:

t := -2, - 1.8 .. 2 ,

где: -2 -- начальное значение диапазона;

-1.8 (-2 + 0.2) -- второе значение диапазона (начальное значение плюс шаг);

2 --конечное значение диапазона.

Внимание . Многоточие вводится нажатием точки с запятой в английской раскладке клавиатуры.

Пример . Построение графика функции y = x 2 на интервале [-5,5] с шагом 0.5 (рис. 2.2).

Рис. 2.2. Построение графика функции y = x 2

При построении графиков необходимо учитывать следующее:

° Если диапазон значений аргумента не задан, то по умолчанию график строится в диапазоне [-10,10].

° Если в одном шаблоне необходимо разместить несколько графиков, то имена функций указываются через запятую.

° Если две функции имеют различные аргументы, например f1(x) и f2(y), то на оси ординат (Y) через запятую указываются имена функций, а по оси абсцисс (X) -- имена обеих переменных тоже через запятую.

° Крайние метки данных на шаблоне графика служат для указания предельных значений абсцисс и ординат, т.е. они задают масштаб графика. Если оставить эти метки незаполненными, то масштаб будет установлен автоматически. Автоматический масштаб не всегда отражает график в нужном виде, поэтому предельные значения абсцисс и ординат приходится редактировать, изменяя вручную.

Примечание. Если после построения график не принимает нужный вид, можно:

· уменьшить шаг.

· изменить интервал построения графика.

· уменьшить на графике предельные значения абсцисс и ординат.

Пример . Построение окружности с центром в точке (2,3) и радиусом R = 6.

Уравнение окружности с центром в точке с координатами (x 0 ,y 0) и радиусом R записывается в виде:

Выразим из этого уравнения y :

Таким образом, для построения окружности необходимо задать две функции: верхнюю и нижнюю полуокружности. Диапазон значений аргумента вычисляется следующим образом:

Начальное значение диапазона = x 0 - R ;

Конечное значение диапазона = x 0 + R ;

Шаг лучше взять равным 0.1 (рис. 2.3.).

Рис. 2.3. Построение окружности

Параметрический график функции

Иногда бывает удобнее вместо уравнения линии, связывающего прямоугольные координаты x и y , рассматривать так называемые параметрические уравнения линии, дающие выражения текущих координат x и y в виде функций от некоторой переменной величины t (параметра): x (t ) и y (t ). При построении параметрического графика на осях ординат и абсцисс указываются имена функций одного аргумента.

Пример . Построение окружности с центром в точке с координатами (2,3) и радиусом R = 6. Для построения используется параметрическое уравнение окружности

x = x 0 + R cos(t ) y = y 0 + R sin(t ) (рис. 2.4.).

Рис.2.4. Построение окружности

Форматирование графиков

Чтобы отформатировать график, необходимо дважды щелкнуть по области графика. Откроется диалоговое окно форматирования графика. Ниже перечислены вкладки окна форматирования графика:

§ X - Y Axes --форматирование осей координат. Установив нужные флажки можно:

· Log Scale --представить численные значения на осях в логарифмическом масштабе (по умолчанию численные значения наносятся в линейном масштабе)

· Grid Lines --нанести сетку линий;

· Numbered --расставить числа по координатным осям;

· Auto Scale --автоматический выбор предельных численных значений на осях (если этот флажок снят, предельными будут максимальные вычисленные значения);

· Show Marker -- нанесение меток на график в виде горизонтальных или вертикальных пунктирных линий, соответствующих указанному значению на оси, причем сами значения выводятся в конце линий (на каждой оси появляются 2 места ввода, в которые можно ввести численные значения, не вводить ничего, ввести одно число или буквенные обозначения констант);

· Auto G rid -- автоматический выбор числа линий сетки (если этот флажок снят, надо задать число линий в поле Number of Grids);

· Crossed --ось абсцисс проходит через нуль ординаты;

· Boxed -- ось абсцисс проходит по нижнему краю графика.

§ Trace -- форматирование линии графиков функций. Для каждого графика в отдельности можно изменить:

· символ (Symbol) на графике для узловых точек (кружок, крестик, прямоугольник, ромб);

· вид линии (Solid -- сплошная, Dot -- пунктир, Dash -- штрихи, Dadot -- штрих-пунктир);

· цвет линии (Color);

· тип (Туре) графика (Lines -- линия, Points -- точки, Ваr или Solidbar -- столбики, Step -- ступенчатый график и т.д.);

· толщину линии (Weight).

§ Label -- заголовок в области графика. В поле Title (Заголовок) можно записать текст заголовка, выбрать его положение -- вверху или внизу графика (Above -- вверху, Below -- внизу). Можно вписать, если надо, названия аргумента и функции (Axis Labels ).

§ Defaults -- с помощью этой вкладки можно вернуться к виду графика, принятому по умолчанию (Change to default), либо сделанные вами изменения на графике использовать по умолчанию для всех графиков данного документа (Use for Defaults).

5. 2 Построение полярных графиков

Для построения полярного графика функции необходимо:

· задать диапазон значений аргумента;

· задать функцию;

· установить курсор в то место, где должен быть построен график, на математической панели выбрать кнопку Graph (график) и в открывшейся панели кнопку Polar Plot (полярный график);

· в местах ввода появившегося шаблона необходимо ввести угловой аргумент функции (внизу) и имя функции (слева).

Пример . Построение лемнискаты Бернулли: (рис. 2.6.)

Рис.2.6. Пример построения полярного графика

5. 3 Построение графиков поверхностей (трехмерные или 3 D - графики)

При построении трехмерных графиков используется панель Graph (График) математической панели. Можно построить трехмерный график с помощью мастера, вызываемого из главного меню; можно построить график, создав матрицу значений функции двух переменных; можно задействовать ускоренный метод построения; можно вызвать специальные функции CreateMech и CreateSpase, предназначенные для создания массива значений функции и построения графика. Мы рассмотрим ускоренный метод построения трехмерного графика.

Быстрое построение графика

Для быстрого построения трехмерного графика функции необходимо:

· задать функцию;

· установить курсор в то место, где должен быть построен график, на математической панели выбрать кнопку Graph (График) и в открывшейся панели кнопку (Поверхностный график) ;

· в единственное место шаблона введите имя функции (не указывая переменные);

· щелкнуть мышью вне шаблона графика -- график функции будет построен.

Пример . Построение графика функции z (x ,y ) = x 2 + y 2 - 30 (рис. 2.7).

Рис. 2.7. Пример быстрого построения поверхностного графика

Построенным графиком можно управлять:

° вращение графика выполняется после наведения на него указателя мыши при нажатой левой кнопке мыши;

° масштабирование графика выполняется после наведения на него указателя мыши при одновременном нажатии левой кнопки мыши и клавиши Ctrl (если двигать мышь, график приближается или удаляется);

° анимация графика выполняется аналогично, но при нажатой дополнительно клавише Shift. Необходимо только начать вращение графика мышью, дальше анимация будет выполняться автоматически. Для остановки вращения следует щелкнуть левой кнопкой мыши внутри области графика.

Существует возможность построения сразу нескольких поверхностей на одном рисунке. Для этого необходимо задать обе функции и через запятую указать имена функций на шаблоне графика.

При быстром построении графика по умолчанию выбираются значения обоих аргументов в пределах от -5 до +5 и число контурных линий, равное 20. Для изменения этих значений необходимо:

· дважды щелкнуть по графику;

· в открывшемся окне выбрать вкладку Quick Plot Data;

· ввести новые значения в области окна Range1 -- для первого аргумента и Range2 -- для второго аргумента (start -- начальное значение, end -- конечное значение);

· в поле # of Grids изменить число линий сетки, покрывающих поверхность;

· щелкнуть на кнопке Ок.

Пример . Построение графика функции z (x ,y ) = -sin(x 2 + y 2) (рис. 2.9).

При построении этого графика пределы изменения значений обоих аргументов лучше выбрать от -2 до +2.

Рис. 2.9. Пример построения графика функции z (x ,y ) = -sin(x 2 + y 2)

Фор матирование трехмерных графиков

Для форматирования графика необходимо дважды щелкнуть по области построения -- появится окно форматирования с несколькими вкладками: Appearance ,General ,Axes ,Lighting ,Title ,Backplanes ,Special , Advanced , Quick Plot Data .

Назначение вкладки Quick Plot Data было рассмотрено выше.

Вкладка Appearance позволяет менять внешний вид графика. Поле Fill Options позволяет изменить параметры заливки, поле Line Option -- параметры линий, Point Options -- параметры точек.

Во вкладке General (общие) в группе View можно выбрать углы поворота изображенной поверхности вокруг всех трех осей; в группе Display as можно поменять тип графика.

Во вкладке Lighting (освещение) можно управлять освещением, установив флажок Enable Lighting (включить освещение) и переключатель On (включить). Одна из 6-ти возможных схем освещения выбирается в списке Lighting scheme (схема освещения).

6. Способы решения уравнений в MathCAD

В данном разделе мы узнаем, каким образом в системе MathCAD решаются простейшие уравнения вида F(x ) = 0. Решить уравнение аналитически -- значит найти все его корни, т.е. такие числа, при подстановке которых в исходное уравнение получим верное равенство. Решить уравнение графически -- значит найти точки пересечения графика функции с осью ОХ.

6. 1 Решение уравнений с помощью ф ункци и root ( f ( x ), x )

Для решений уравнения с одним неизвестным вида F(x ) = 0 существует специальная функция

root (f (x ), x ) ,

где f (x ) -- выражение, равное нулю;

х -- аргумент.

Эта функция возвращает с заданной точностью значение переменной, при котором выражение f (x ) равно 0.

Внимани е. Если правая часть уравнения 0, то необходимо привести его к нормальному виду (перенести все в левую часть).

Перед использованием функции root необходимо задать аргументу х начальное приближение. Если корней несколько, то для отыскания каждого корня необходимо задавать свое начальное приближение.

Внимание . Перед решением желательно построить график функции, чтобы проверить, есть ли корни (пересекает ли график ось Ох), и если есть, то сколько. Начальное приближение можно выбрать по графику поближе к точке пересечения.

Пример. Решение уравнения с помощью функции root представлено на рисунке 3.1. Перед тем как приступить к решению в системе MathCAD, в уравнении все перенесем в левую часть. Уравнение примет вид: .

Рис. 3.1. Решение уравнения при помощи функции root

6. 2 Решение уравнений с помощью ф ункци и Polyroots ( v )

Для одновременного нахождения всех корней полинома используют функцию Polyroots (v ), где v -- вектор коэффициентов полинома, начиная со свободного члена. Нулевые коэффициенты опускать нельзя.В отличие от функции root функция P olyroots не требует начального приближения.

Пример . Решение уравнения с помощью функции polyroots представлено на рисунке 3.2.

Рис. 3.2. Решение уравнения с помощью функции polyroots

6. 3 Решение уравнений с помощью ф ункци и Find (x )

Функция Find (Найти) работает в ключевой связке с ключевым словом Given (Дано). Конструкция Given -Find

Если задано уравнение f (x ) = 0, то его можно решить следующим образом с помощью блока Given - Find :

Задать начальное приближение

Ввести служебное слово

Записать уравнение, используя знак жирное равно

Написать функцию find с неизвестной переменной в качестве параметра

В результате после знака равно выведется найденный корень.

Если существует несколько корней, то их можно найти, меняя начальное приближение х0 на близкое к искомому корню.

Пример. Решение уравнения с помощью функции find представлено на рисунке 3.3.

Рис. 3.3. Решение уравнения с помощью функции find

Иногда возникает необходимость отметить на графике какие-либо точки (например, точки пересечения функции с осью Ox). Для этого необходимо:

· указать значение x данной точки (по оси Ох) и значение функции в этой точке (по оси Оy);

· дважды щелкнуть по графику и в окне форматирования во вкладке Traces для соответствующей линии выбрать тип графика -- points, толщину линии -- 2 или 3.

Пример. На графике отмечена точка пересечения функциис осью Ох. Координата х этой точки была найдена в предыдущем примере: х = 2.742 (корень уравнения ) (рис. 3.4).

Рис. 3.4. График функции с отмеченной точкой пересечения

В окне форматирования графика во вкладке Traces для trace 2 изменены: тип графика -- points, толщина линии -- 3, цвет -- черный.

7. Решение систем уравнений

7. 1 Решение систем линейных уравнений

Систему линейных уравнений можно решить м атричным методом (или через обратную матрицу или используя функцию lsolve (A,B)) и с использованием двух функций Find и функции Minerr .

Матричный метод

Пример. Дана система уравнений:

Решение данной системы уравнений матричным методом представлено на рисунке 4.1.

Рис. 4.1. Решение системы линейных уравнений матричным методом

Использование функции lsolve (A , B )

L solve (A,B) -- это встроенная функция, которая возвращает вектор Х для системы линейных уравнений при заданной матрице коэффициентов А и векторе свободных членов В.

Пример . Дана система уравнений:

Способ решения данной системы с использованием функции lsolve(A,B) приведен на рисунке 4.2.

Рис. 4.2. Решение системы линейных уравнений с использованием функции lsolve

Решение системы линейных уравнений с помощью функци и Find

При данном методе уравнения вводятся без использования матриц, т.е. в «натуральном виде». Предварительно необходимо указать начальные приближения неизвестных переменных. Это могут быть любые числа, входящие в область определения. Часто за них принимают столбец свободных членов.

Для того чтобы решить систему линейных уравнений с помощью вычислительного блока Given - Find , необходимо:

2) ввести служебное слово Given ;

жирное равно ();

4) написать функцию Find ,

Пример. Дана система уравнений:

Решение данной системы с помощью вычислительного блока Given - Find приведено на рисунке 4.3.

Рис. 4.3. Решение системы линейных уравнений с помощью функции Find

Приближенное р ешение системы линейных уравнений

Решение системы линейных уравнений с помощью функцию Minerr аналогично решению с помощью функции Find (используется тот же алгоритм), только функция Find дает точное решение, а Minerr -- приближенное. Если в результате поиска не может быть получено дальнейшее уточнение текущего приближения к решению, Miner r возвращает это приближение. Функция Find в этом случае возвращает сообщение об ошибке.

· Можно подобрать другое начальное приближение.

· Можно увеличить или уменьшить точность расчетов. Для этого в меню выбрать Math > Options (Математика - Опции), вкладка Built - In Variables (Встроенные переменные). В открывшейся вкладке необходимо уменьшить допустимую погрешность вычислений (Convergence Tolerance (TOL)). По умолчанию TOL = 0.001.

В нимание . При матричном методе решения необходимо переставить коэффициенты согласно возрастанию неизвестных х 1, х 2, х 3, х 4.

7. 2 Решение систем нелинейных уравнений

Системы нелинейных уравнений в MathCAD решаются с помощью вычислительного блока Given - Find .

Конструкция Given - Find использует расчетную методику, основанную на поиске корня вблизи точки начального приближения, заданной пользователем.

Для решения системы уравнений с помощью блока Given - Find необходимо:

1) задать начальные приближения для всех переменных;

2) ввести служебное слово Given ;

3) записать систему уравнений, используя знак жирное равно ();

4) написать функцию Find , перечислив неизвестные переменные в качестве параметров функции.

В результате расчетов выведется вектор решения системы.

Если система имеет несколько решений, алгоритм следует повторить с другими начальными приближениями.

Примечание . Если решается система из двух уравнений с двумя неизвестными, перед решением желательно построить графики функций, чтобы проверить, есть ли корни у системы (пересекаются ли графики заданных функций), и если есть, то сколько. Начальное приближение можно выбрать по графику поближе к точке пересечения.

Пример . Дана система уравнений

Перед решением системы построим графики функций: параболы (первое уравнение) и прямой (второе уравнение). Построение графика прямой и параболы в одной системе координат приведено на рисунке 4.5:

Рис. 4.5. Построение графика двух функций в одной системе координат

Прямая и парабола пересекаются в двух точках, значит, система имеет два решения. По графику выбираем начальные приближения неизвестных x и y для каждого решения. Нахождение корней системы уравнений представлено на рисунке 4.6.

Рис. 4.6. Нахождение корней системы нелинейных уравнений

Для того чтобы отметить на графике точки пересечения параболы и прямой, координаты точек, найденные при решении системы, введем по оси Ох (значения х ) и по оси Оу (значения у ) через запятую. В окне форматирования графика во вкладке Traces для trace 3 и trace 4 изменим: тип графика -- points, толщина линии -- 3, цвет -- черный (рис. 4.7).

Рис. 4.7. Графики функций с отмеченными точками пересечения

8 . Примеры использования основных возможностей MathCAD для решения некоторых математических задач

В данном разделе приведены примеры решения задач, для решения которых необходимо решить уравнение или систему уравнений.

8. 1 Нахождение локальных экстремумов функций

Необходимое условие экстремума (максимума и/или минимума) непрерывной функции формулируется так: экстремумы могут иметь место только в тех точках, где производная или равна нулю, или не существует (в частности, обращается в бесконечность). Для нахождения экстремумов непрерывной функции сначала находят точки, удовлетворяющие необходимому условию, то есть находят все действительные корни уравнения.

Если построен график функции, то можно сразу увидеть -- максимум или минимум достигается в данной точке х . Если графика нет, то каждый из найденных корней исследуют одним из способов.

1-й с пособ . С равнени е знаков производной . Определяют знак производной вокрестности точки (в точках, отстоящих от экстремума функции по разные стороны на небольших расстояниях). Если знак производной при этом меняется от «+» к «-», то в данной точке функция имеет максимум. Если знак меняется от «-» к «+» , то в данной точке функция имеет минимум. Если знак производной не меняется, то экстремумов не существует.

2-й с пособ . В ычислени е второй производной . В этом случае вычисляется вторая производная в точке экстремума. Если она меньше нуля, то в данной точке функция имеет максимум, если она больше нуля, то минимум.

Пример . Нахождение экстремумов (минимумов/максимумов) функции.

Сначала построим график функции (рис. 6.1).

Рис. 6.1. Построение графика функции

Определим по графику начальные приближения значений х , соответствующих локальным экстремумам функции f (x ). Найдем эти экстремумы, решив уравнение. Для решения используем блок Given - Find (рис. 6.2.).

Рис. 6.2. Нахождение локальных экстремумов

Определим вид экстремумовперв ым способом , исследуя изменение знака производной в окрестности найденных значений (рис. 6.3).

Рис. 6.3. Определение вида экстремума

Из таблицы значений производной и из графика видно, что знак производной в окрестности точки x 1 меняется с плюса на минус, поэтому в этой точке функция достигает максимума. А в окрестности точки x 2 знак производной поменялся с минуса на плюс, поэтому в этой точке функция достигает минимума.

Определим вид экстремумов втор ым способом , вычисляя знак второй производной (рис. 6.4).

Рис. 6.4. Определение вида экстремума с помощью второй производной

Видно, что в точке x 1 вторая производная меньше нуля, значит, точка х 1 соответствует максимуму функции. А в точке x 2 вторая производная больше нуля, значит, точка х 2 соответствует минимуму функции.

8.2 Определение площадей фигур, ограниченных непрерывными линиями

Площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции f (x ) , отрезком на оси Ox и двумя вертикалями х = а и х = b , a < b , определяется по формуле: .

Пример . Нахождение площади фигуры, ограниченной линиями f (x ) = 1 - x 2 и y = 0.

Рис. 6.5. Нахождение площади фигуры, ограниченной линиями f (x ) = 1 - x 2 и y = 0

Площадь фигуры, заключенной между графиками функций f 1(x ) и f 2(x ) и прямыми х = а и х = b , вычисляется по формуле:

Внимание . Чтобы избежать ошибок при вычислении площади, разность функций надо брать по модулю. Таким образом, площадь будет всегда положительной величиной.

Пример . Нахождение площади фигуры, ограниченной линиями и. Решение представлено на рисунке 6.6.

1. Строим график функций.

2. Находим точки пересечения функций с помощью функции root. Начальные приближения определим по графику.

3. Найденные значения x подставляем в формулу как пределы интегрирования.

8. 3 Построение кривых по заданным точкам

Построение прямой, проходящей через две заданные точки

Для составления уравнения прямой, проходящей через две точки А(x 0,y 0) и B(x 1,y 1), предлагается следующий алгоритм:

1. Прямая задается уравнением y = ax + b ,

где a и b -- коэффициенты прямой, которые нам требуется найти.

2. Данная система является линейной. В ней две неизвестные переменные: a и b

Пример. Построение прямой, проходящей через точки А(-2,-4) и В(5,7).

Подставим в уравнение прямой координаты данных точек и получим систему:

Решение этой системы в MathCAD представлено на рисунке 6.7.

Рис. 6.7.Решение системы

В результате решения системы получаем: а = 1.57, b = -0.857. Значит, уравнение прямой будет иметь вид: y = 1.57x - 0.857. Построим эту прямую (рис. 6.8).

Рис. 6.8. Построение прямой

Построение параболы , проходящей через три заданные точки

Для построения параболы, проходящей через три точки А(x 0,y 0), B(x 1,y 1) и C(x 2,y 2), алгоритм следующий:

1. Парабола задается уравнением

y = ax 2 + b х + с , где

а , b и с -- коэффициенты параболы, которые нам требуется найти.

Подставляем в это уравнение заданные координаты точек и получаем систему:

.

2. Данная система является линейной. В ней три неизвестные переменные: a , b и с . Систему можно решить матричным способом.

3. Полученные коэффициенты подставляем в уравнение и строим параболу.

Пример. Построение параболы, проходящей через точки А(-1,-4), B(1,-2) и C(3,16).

Подставляем в уравнение параболы заданные координаты точек и получаем систему:

Решение этой системы уравнений в MathCAD представлено на рисунке 6.9.

Рис. 6.9. Решение системы уравнений

В результате получены коэффициенты: a = 2, b = 1, c = -5. Получаем уравнение параболы: 2x 2 +x -5 = y . Построим эту параболу (рис. 6.10).

Рис. 6.10. Построение параболы

Построение окружности, проходящей через три заданные точки

Для построения окружности, проходящей через три точки А(x 1,y 1), B(x 2,y 2) и C(x 3,y 3), можно воспользоваться следующим алгоритмом:

1. Окружность задается уравнением

,

где x0,y0 -- координаты центра окружности;

R -- радиус окружности.

2. Подставим в уравнение окружности заданные координаты точек и получим систему:

.

Данная система является нелинейной. В ней три неизвестные переменные: x 0, y 0 и R. Система решается с применением вычислительного блока Given - Find .

Пример . Построение окружности, проходящей через три точки А(-2,0), B(6,0) и C(2,4).

Подставим в уравнение окружности заданные координаты точек и получим систему:

Решение системы в MathCAD представлено на рисунке 6.11.

Рис. 6.11. Решение системы

В результате решения системы получено: x 0 = 2, y 0 = 0, R = 4. Подставим полученные координаты центра окружности и радиус в уравнение окружности. Получим: . Выразим отсюда y и построим окружность (рис. 6.12).

Рис. 6.12. Построение окружности

Подобные документы

Использование ранжированных переменных в программном пакете Mathcad. Создание матриц без использования шаблонов матриц, описание операторов для работы с векторами и матрицами. Решение систем линейных и нелинейных уравнений с помощью функций Mathcad.

контрольная работа , добавлен 06.03.2011


Общий вид окна MathCad, меню панели инструментов исследуемой программы. Документ MathCad, его общая характеристика и методы редактирования. Разделение областей и контекстное меню, выражения. Определение дискретного аргумента, переменных и констант.

презентация , добавлен 29.09.2013


Понятие математической модели и моделирования. Общие сведения о системе MathCad. Структурный анализ задачи в MathCAD. Режим непрерывных символьных преобразований. Оптимизация численных вкладок через символьные преобразования. Расчет опорной реакции.

курсовая работа , добавлен 06.03.2014


Назначение и состав системы MathCAD. Основные объекты входного языка и языка реализации. Характеристика элементов интерфейса пользователя, настройка состава панелей инструментов. Задачи линейной алгебры и решение дифференциальных уравнений в MathCAD.

курс лекций , добавлен 13.11.2010


Общие сведения о системе Mathcad. Окно программы Mathcad и панели инструментов. Вычисление алгебраических функций. Интерполирование функций кубическими сплайнами. Вычисление квадратного корня. Анализ численного дифференцирования и интегрирования.

курсовая работа , добавлен 25.12.2014


Изучение структуры рабочего документа MathCad - программы, предназначенной для автоматизации математических расчетов. Работа с переменными, функциями и матрицами. Применение MathCad для построения графиков, решения уравнений и символьных вычислений.

презентация , добавлен 07.03.2013


Понятие математической модели, свойства и классификация. Характеристика элементов системы Mathcad. Алгоритмический анализ задачи: описание математической модели, графическая схема алгоритма. Реализация базовой модели и описание исследований MathCAD.

реферат , добавлен 20.03.2014


Mathcad и его основные понятия. Возможности и функции системы в матричных исчислениях. Простейшие операции с матрицами. Решение систем линейных алгебраических уравнений. Собственные векторы. Разложение Холецкого. Элементарная теория линейных операторов.

курсовая работа , добавлен 25.11.2014


Основные элементы системы MathCAD, обзор ее возможностей. Интерфейс системы, концепция построения документа. Типы данных, входной язык системы. Классификация стандартных функций. Графические возможности системы MathCAD. Решение уравнений системы.

курс лекций , добавлен 01.03.2015


Знакомство с текстовыми редакторами Windows. Настройка редактора Microsoft Word. Разработка документа MS Excel. Создание Web-страниц в среде MS Word. Построение фреймов. Управление параметрами шрифта. Построение графиков в математическом пакете MathCad.

Mathcad - программное средство, среда для выполнения на компьютере разнообразных математических и технических расчетов, снабженная простым в освоении и в работе графическим интерфейсом, которая предоставляет пользователю инструменты для работы с формулами, числами, графиками и текстами. В среде Mathcad доступны более сотни операторов и логических функций, предназначенных для численного и символьного решения математических задач различной сложности.

Для автоматизации математических, инженерно-технических и научных расчётов используются разнообразные вычислительные средства – от программируемых микрокалькуляторов до сверхмощных суперЭВМ. И, тем не менее, такие расчёты для многих остаются сложным делом. Более того, применение компьютеров для расчётов внесло новые трудности: прежде чем начать расчёты, пользователь должен освоить азы алгоритмизации, изучить один или несколько языков программирования, а также численные методы расчётов. Положение cущественно изменилось после выпуска специализированных программных комплексов для автоматизации математических и инженерно-технических расчётов.

К таким комплексам относятся пакеты программ Mathcad, MatLab, Mathematica, Maple, MuPAD, Derive и др. Mathcad занимает в этом ряду особое положение.

Mathcad является интегрированной системой решения математических, инженерно-технических и научных задач. Он содержит текстовый и формульный редактор, вычислитель, средства научной и деловой графики, а также огромную базу справочной информации, как математической, так и инженерной, оформленной в виде встроенного в Mathcad справочника, комплекта электронных книг и обычных «бумажных» книг, в том числе и на русском языке

Текстовый редактор служит для ввода и редактирования текстов. Тексты являются комментариями, и входящие в них математические выражения не выполняются. Текст может состоять из слов, математических символов, выражений и формул.

Формульный процессор обеспечивает естественный «многоэтажный» набор формул в привычной математической нотации (деление, умножение, квадратный корень, интеграл, сумма и т.д.). Последняя версия Mathcad полностью поддерживает буквы кириллицы в комментариях, формулах и на графиках.

Вычислитель обеспечивает вычисление по сложным математическим формулам, имеет большой набор встроенных математических функций, позволяет вычислять ряды, суммы, произведения, интегралы, производные, работать с комплексными числами, решать линейные и нелинейные уравнения, а также дифференциальные уравнения и системы, проводить минимизацию и максимизацию функций, выполнять векторные и матричные операции, статистический анализ и т.д. Можно легко менять разрядность и базу чисел (двоичная, восьмеричная, десятеричная и шестнадцатеричная), а также погрешность итерационных методов. Автоматически ведётся контроль размерностей и пересчёт в разных системах измерения (СИ, СГС, англо-американская, а также пользовательская).

В Mathcad встроены средства символьной математики, позволяющие решать задачи через компьютерные аналитические преобразования.

Графический процессор служит для создания графиков и диаграмм. Он сочетает простоту общения с пользователем с большими возможностями средств деловой и научной графики. Графика ориентирована на решение типичных математических задач. Возможно быстрое изменение вида и размера графиков, наложение на них текстовых надписей и перемещение их в любое место документа.

Mathcad является универсальной системой, т.е. может использоваться в любой области науки и техники – везде, где применяются математические методы. Запись команд в системе Mathcad на языке, очень близком к стандартному языку математических расчётов, упрощает постановку и решение задач.

Mathcad интегрирован со всеми другими компьютерными системами счёта.

Mathcad позволяет легко решать такие задачи как:

ввод на компьютере разнообразных математических выражений (для дальнейших расчётов или создания документов, презентаций, Web-страниц или электронных и обычных «бумажных» книг);

проведение математических расчётов (как аналитических, так и при помощи численных методов);

подготовка графиков (как двумерных, так и трёхмерных) с результатами расчётов;

ввод исходных данных и вывод результатов в текстовые файлы или файлы с базами данных в других форматах;

подготовка отчетов работы в виде печатных документов;

подготовка Web-страниц и публикация результатов в Интернете;

получение различной справочной информации

и многие другие задачи.

Начиная с 14-й версии, Mathcad интегрирован с Pro/ENGINEER (а также и с SolidWorks). В основе интеграции Mathcad и Pro/ENGINEER лежит двухсторонняя связь между этими приложениями. Их пользователи могут легко связать любой файл Mathcad с деталью и сборкой Pro/ENGINEER при помощи такой функции системы Pro/ENGINEER, как фичер анализа

Mathcad создает удобную вычислительную среду для самых разнообразных математических расчётов и документирования результатов работы в рамках утверждённых стандартов. Mathcad позволяет создавать корпоративные и отраслевые средства сертифицированных расчётов в различных отраслях науки и техники, обеспечивающие единую методологию для всех организаций, входящих в корпорацию или отрасль

Последняя версия Mathcad поддерживает 9 языков, позволяет вести более мощные и ясные вычисления.

NEEDHAM (Массачусетс). 12 февраля 2007 г. PTC (на бирже Nasdaq: PMTC), компания по разработке систем CAD/CAM/CAE/PLM, объявила о выпуске Mathcad 14.0, самой последней версии популярной системы автоматизации инженерно-технических расчётов. Начиная с момента приобретения фирмы Mathsoft в апреле 2006 года, компания PTC сосредоточила свои усилия над тем, чтобы дальше раздвинуть географические границы применения технологии Mathcad и значительно увеличить армию её пользователей. Mathcad 14.0 значительно расширяет возможности пользователей в решении постоянно растущих вычислительных задач, улучшает связанность расчётных документов на протяжении всего процесса разработки изделия.

В современных условиях глобального разделения процесса разработки изделия научно-технические вычисления приобретают крайне важное значение. Выпуская Mathcad 14.0, PTC обеспечивает полную поддержку кодировки Unicode и в скором будущем предложит данный продукт на девяти языках. Новыми среди них будут такие языки, как итальянский, испанский, корейский и оба китайских – традиционный и упрощённый. Расширенная языковая поддержка в Mathcad 14.0 позволит географически разбросанным командам выполнять и документировать расчёты на своём местном языке и в результате повысить производительность труда, благодаря увеличению его скорости и точности, а также сокращению ошибок, происходящих при переводе с одного языка на другой.

Mathcad 14.0 также позволяет выполнять более сложные расчёты, сохраняя их ясность с помощью новых функций рабочего листа WorkSheet (документа, открытого в среде Mathcad), дополнительных средств оперативной числовой оценки и расширенного набора символов. Это поможет пользователям при выводе формул, отображении вычислительного процесса и документального обоснования расчётов. В конечном итоге, специальные дополнительные возможности разрешат пользователям работать с более широким диапазоном инженерно-технических задач.

В основе интеграции Mathcad и Pro/ENGINEER лежит двухсторонняя связь между этими приложениями. Их пользователи могут легко связать любой файл Mathcad с деталью и сборкой Pro/ENGINEER при помощи такой функции системы Pro/ENGINEER, как фичер анализа. Базовые величины, расчитанные в системе Mathcad, могут быть переведены в параметры и размеры CAD-модели для управления геометрическим объектом. Параметры из модели Pro/ENGINEER также можно ввести в Mathcad для последующих инженерно-конструкторских расчётов. При изменении параметров взаимная интеграция двух систем позволяет динамически обновлять вычисления и чертёж объекта. Более того, теперь корректность управляемых системой Mathcad моделей Pro/ENGINEER может быть обоснована с помощью таких расчётных модулей Pro/ENGINEER, как Pro/ENGINEER Mechanica®, Structural And Thermal Simulation, Fatique Advisor Option и Mechanism Dynamics Option.

Что нового в Mathcad 14.0?

Новый тандем операторов интерфейса («Два в одном»)

Формат чисел на графиках

Изменения в командах Find/Replace

Команда Compare

Новое в решении ОДУ

Новые средства символьной математики

Поддержка кодовой таблицы Unicode

Интерфейс пользователя

Под интерфейсом пользователя подразумевается совокупность средств графической оболочки Math CAD, обеспечивающих лёгкое управление системой, как с клавишного пульта, так и с помощью мыши. Под управлением понимается и просто набор необходимых символов, формул, текстовых комментариев и т. д., и возможность полной подготовки в среде MathCAD документов (Work Sheets) и электронных книг с последующим их запуском в реальном времени. Пользовательский интерфейс системы создан так, что пользователь, имеющий элементарные навыки работы с Windows-приложениями, может сразу начать работу с MathCAD.

Окно редактирования.

Главное меню системы.

Вторая строка окна системы - главное меню. Назначение его команд приведено ниже:

File (Файл) – работа с файлами, сетью интернет и электронной почтой;

PAGE_BREAK--

Ниспадающее меню содержит команды, стандартные для Windows-приложений.

Edit (Правка) – редактирование документов;

Ниспадающее меню также содержит команды, стандартные для Windows-приложений.Большинство из них доступны только в случае, если в документе выделены одна или несколько областей (текст, формула, график и т.д.)

View (Обзор) – изменение средств обзора;

Toolbars (Панели) - позволяет отображать или скрывать панели инструментов Standart (Стандартная), Formatting (Форматирования), Math(Математика).

Status bar(Строка состояния) - включение или отключение отображения строки состояния системы.

Ruler(линейка) - включение-отключение линейки.

Regions (Границы) - Делает видимыми границы областей (текстовых, графических, формул).

Zoom (изменение масштаба).

Refresh (Обновить) - обновление содержимого экрана.

Animate (Анимация) - Команда позволяет создать анимацию.

Playback (Проигрыватель) - Bоспроизведение анимации, хранящейся в файле с расширением AVI.

Preferences (Настройки) - Одна из вкладок всплывающего окна (General) позволяет задать некоторые параметры работы впрграммы, не влияющие на вычисления, другая вкладка (Internet) служит для ввода информации при совместной работе с MathCAD-документами через Internet.

Insert (Вставка) – Команды этого меню позволяют помещать в MathCAD -документ графики, функции, гиперссылки, компоненты и встраивать объекты.

Format (Формат) – изменение формата объектов

Equation (Уравнение) - Форматирование формул и создание собственных стилей для представления данных

Result(Результат) - Позволяет задать формат представления результатов вычислений.(см. раздел 1.4 этой лекции)

Text(Текст) - Форматирование текстового фрагмента (шрифт, размер, начертание)

Paragraf (Абзац) - Изменение формата текущего абзаца (отступы, выравнивание).

Tabs(Табуляция) - Задание позиций маркеров табуляции.

Style (Стиль) - Оформление текстовых абзацев.

Properties (Свойства) - Вкладка Display (Отображение) позволяет задать цвет фона для наиболее важных текстовых и графических областей; вставленный в документ рисунок (Insert -> Picture) позволяет заключить в рамку, вернуть ему первоначальный размер. Вквадка Calculation (Вычисление) позволяет для выделенной формулы включить и отключить вычисление; в последнем случае в правом верхнем углу области формулы появляется маленький черный прямоугольник и формула превращается в комментарий.

Graf (График) - Позволяет менять параметры отображения графиков

Separate regions (Разделить области) - Позволяет раздвигать перекрывающиеся области.

Align regions(Выровнять области) - Выравнивает выделенные области по горизонтали или по вертикали.

Headers/Footers (Колонтитулы) - создание и редактирование колонтитулов.

Repaganite Now (Перенумерация страниц) - Производит разбивку текущего документа на страницы.

Math (Математика) – управление процессом вычислений; в MathCAD существует два режима вычислений: автоматический и ручной. В автоматическом режиме результаты вычислений полностью обновляются при каком-либо изменении в формуле.

Automatic Calculation (Автоматическое вычисление) - позволяет переключать режимы вычислений.

Calculate (Вычислить) - При ручном режиме вычислений позволяет пересчитать видимую часть экрана.

Optimization (Оптимизация) - При помощи этой команды можно заставит MathCAD перед численной оценкой выражения произвести символьные вычисления и при нахождении более компактной формы выражения использовать именно ее. Если выражение удалось оптимизировать, то справа от него появляется маленькая красная звездочка. Двойной щелчок на ней открывает окно, в котором находится оптимизированный результат.

Options (Параметры) - позволяет задавать параметры вычислений

Symbolik (Символика) – выбор операций символьного процессора;

Позиции этого меню подробно рассматриваются в Лекции 6, посвященной символьным вычислениям в системе MathCAD.

Window (Окно) – управление окнами системы;

Help (?) – работа со справочной базой данных о системе;

Mathcad Help (Справка по MathCAD) - содержит три вкладки: Содержание - справка упорядочена по темам; Указатель - предметный указатель; Поиск - находит нужное понятие при вводе его в форму.

Resource Center (Центр ресурсов) - Информационный центр, содержащий обзор вычислительных способностей MathCAD (Overview and Tutorials), быструю справку в виде примеров из различных областей математики (Quicksheets and Reference tables).

Tip of the Day - Всплывающие окна-подсказки с полезными советами (возникают при загрузке системы).

Open Book (Открыть книгу) - позволяет открыть справочник системы MathCAD.

About Mathcad (О программе Mathcad) - информация о версии программы, авторских правах и пользователе.

Каждая позиция главного меню может быть сделана активной. Для этого достаточно указать на нее курсором – стрелкой мыши и нажать ее левую клавишу. Можно также нажать клавишу F10 и использовать клавиши перемещения вправо и влево. Затем выбор фиксируется нажатием клавиши ввода Enter. Если какая-либо позиция главного меню делается активной, она выводит ниспадающее подменю со списком доступных и недоступных (но возможных в дальнейшем) операций. Перемещение по списку подменю и выбор нужной операции производится аналогично тому, как это описано для главного меню.

Стандартная панель инструментов.

Третью строку окна системы занимает панель инструментов (Toolbox). Она содержит несколько групп кнопок управления с пиктограммами, каждая из которых дублирует одну из важнейших операций главного меню. Стоит только остановить курсор мыши на любой из этих пиктограмм, как в желтом окошечке появится текст, объясняющий функции пиктограмм. Рассмотрим действие кнопок быстрого управления системой.

Кнопки операций с файлами.

Документы системы MathCAD являются файлами, т.е. имеющими имена блоками хранения информации на магнитных дисках. Файлы можно создавать, загружать (открывать), записывать и распечатывать на принтере. Возможные операции с файлами представлены в панели инструментов первой группой из трех кнопок:

New Worksheet (Создавать) – создание нового документа с очисткой окна редактирования;

Open Worksheet (Открыть) – загрузка раннее созданного документа из диалогового окна;

Save Worksheet (Cохранить) – запись текущего документа с его именем.

Печать и контроль документов.

Print Worksheet (Печать) – распечатка документа на принтере;

Print Preview (Просмотр) – предварительный просмотр документа;

Check Speling (Проверка) – проверка орфографии документа.

Кнопки операций редактирования.

Во время подготовки документов их приходится редактировать, т.е. видоизменять и дополнять.

Продолжение
--PAGE_BREAK--

Cut (Вырезать) – перенос выделенной части документа в буфер обмена с очисткой этой части документа;

Copy (Копировать) – копирование выделенной части документа в буфер обмена с сохранением выделенной части документа;

Paste (Вставить) – перенос содержимого буфера обмена в окно редактирования на место, указанное курсором мыши;

Undo (Отменить) – отмена предшествующей операции редактирования;

Три последние операции связаны с применением буфера обмена. Он предназначен для временного хранения данных и их переноса из одной части документа в другую, либо для организации обмена данными между различными приложениями.

Кнопки размещения блоков.

Документы состоят из различных блоков: текстовых, формальных, графических и т.д. Блоки просматриваются системой, интерпретируются и исполняются. Просмотр идет справа налево и снизу вверх.

/>- Align Across (Выровнять по горизонтали) – блоки выравниваются по горизонтали.

/>- Align Down (Выровнять вниз) – блоки выравниваются по вертикали, располагаясь сверху вниз.

Пиктограммы этих кнопок изображают блоки и указанные варианты их размещения.

Кнопки операций с выражениями

Формульные блоки часто являются вычисляемыми выражениями или выражениями, входящими в состав заданных пользователем новых функций. Для работы с выражениями служат пиктограммы

Следующие группы кнопок являются специфичными именно для системы MathCAD.

/>Insert Function (Вставить функции) – вставка функции из списка, появляющегося в диаологовом окне;

/>Insert Unit (Вставить единицы) – вставка единиц измерения;

Доступ к новым возможностям MathCAD.

Начиная с версии MathCAD 7.0 появились новые кнопки, дающие доступ к новым возможностям системы:

/>Component Wizard (Мастер компонентов) – открывает окно Мастера, дающего удобный доступ ко всем компонентам системы;

/>Ran Math Connex (Запуск системы Math Connex) – запуск системы для стимулирования блочно-заданных устройств.

Кнопки управления ресурсами.

/>Resource Center (Центр ресурсов) – дает доступ к центру ресурсов;

/>Help (Справка) – дает доступ к ресурсам справочной базы данных системы.

Панель форматирования.

Четвертая строка верхней части экрана содержит типовые средства управления шрифтами:

Style – Переключатель выбора стилей;

Font – Переключатель выбора набора символов;

Point Size – Переключатель выбора размеров символов;

Bold – Установка жирных символов;

Italik – Установка наклонных символов;

Underline – Установка подчёркнутых символов;

Left Align – Установка левостороннего выравнивания;

Center Align – Установка выравнивания по центру;

Right Align – Установка правостороннего выравнивания.

До тех пор, пока не начат набор элементов документа, часть описанных кнопок и иных объектов пользовательского интерфейса находится в пассивном состоянии. В частности, в окнах переключателей панели форматирования нет надписей. Пиктограммы и переключатели становятся активными, как только появляется необходимость в их использовании.

Внизу экрана кроме полосы горизонтальной прокрутки расположена ещё одна строка – строка состояния. В ней выводится служебная информация, краткие комментарии, номер страницы и др. Эта информация полезна для оперативной оценки состояния системы в ходе работы с нею.

Наборные математические панели инструментов.

Для ввода математических знаков в MathCAD используются удобные перемещаемые наборные панели со знаками. Они служат для вывода заготовок – шаблонов математических знаков (цифр, знаков арифметических операций, матриц, знаков интегралов, производных и т. д.). Для вывода панели Math необходимо выполнить команду View -> Toolbar -> Math. Наборные панели появляются в окне редактирования документов при активизации соответствующих пиктограмм – первая линия пиктограмм управления системой. Используя общую наборную панель, можно вывести или все панели сразу или только те, что нужны для работы. Для установки с их помощью необходимого шаблона достаточно поместить курсор в желаемое место окна редактирования (красный крестик на цветном дисплее) и затем активизировать пиктограмму нужного шаблона, установив на него курсор мыши и нажав ее левую клавишу.

Многие функции и операции, которые вставляются в документ с помощью наборных математических панелей, могут быть помещены в документ с помощью «быстрых клавиш». При этом работа в системе MathCAD становится более продуктивной. Рекомендуем запомнить сочетания клавишь хотя бы для некоторых наиболее часто употребляемых команд.

Более подробно работа с дополнительными панелями, включаемыми кнопками панели Math, будет описана в соответствующих разделах.

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

«КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Л.Р. БЕЛЯЕВА, Р.С. ЗАРИПОВА, Р.А. ИШМУРАТОВ

ОСНОВЫ РАБОТЫ В MATHCAD

Методические указания к практическим занятиям

Казань 2012

УДК 621.37 ББК 32.811.3

Рецензенты:

доктор физико-математических наук, профессор Казанского государственного энергетического университета Е.А. Попов;

кандидат технических наук, доцент Казанского национального исследовательского технологического университета М.Ю. Васильева

		Беляева Л.Р.
		Основы работы в MathCAD. Методические указания к практическим занятиям
		/ Л.Р. Беляева, Р.С. Зарипова, Р.А. Ишмуратов – Казань: Казан. гос. энерг. ун-т, 2012.
		В первой части методического пособия представлены основные сведения о
		Mathcad 13 и приемы работы с его текстовым, формульным и графическим
		редакторами. Рассматриваются ввод различных типов данных, основы численных и
		символьных вычислений, построение графиков математических функций, приемы
		интегрирования и дифференцирования с помощью MathCAD.
		Во второй части приведен пример практического использования программного
		пакета MathCAD при решении расчетного задания по курсу «Преобразование
		измерительных сигналов». Представлены необходимые теоретические сведения для
		решения расчетного задания, пример вычисления и индивидуальные задания для
		студентов.
		В методическом пособии также приведены контрольные вопросы по
		изученному материалу и самостоятельные задания для закрепления основ работы в
		Практикум предназначен для студентов специальности «Информационно-
		измерительная техника и технологии» направления 200100 – Приборостроение, а
		также студентов других специальностей и направлений КГЭУ, изучающих
		дисциплины «Информатика» и «Информационные технологии».

© Казанский государственный энергетический университет, 2012

Введение

MathCAD является системой компьютерной математики, позволяющей осуществлять разнообразные научные и инженерные расчеты, начиная от элементарной арифметики и заканчивая сложными реализациями численных методов. Пользователи MathCAD – это студенты, ученые, инженеры, технические специалисты.

MathCAD, в отличие от большинства других современных математических приложений, построен в соответствии с принципом

WYSIWYG («What You See Is What You Get» – «что вы видите, то и получите»). Поэтому он очень прост в использовании, в частности, из-за отсутствия необходимости сначала писать программу, реализующую те или иные математические расчеты, а потом запускать ее на исполнение. Вместо этого достаточно просто вводить математические выражения с помощью встроенного редактора формул, и тут же получать результат.

В состав MathCAD 13 входят несколько интегрированных между собой компонентов, сочетание которых создает удобную вычислительную среду для разнообразных математических расчетов и, одновременно, документирования результатов работы:

− мощный текстовый редактор, позволяющий вводить, редактировать

и форматировать как текст, так и математические выражения;

− вычислительный процессор, умеющий проводить расчеты по введенным формулам, используя встроенные численные методы;

− символьный процессор, являющийся системой искусственного интеллекта;

− огромное хранилище справочной информации, как математической, так и инженерной, оформленной в виде библиотеки интерактивных электронных книг.

Для эффективной работы с редактором MathCAD достаточно иметь базовые навыки пользователя. В соответствии с проблемами реальной жизни, инженерам приходится решать одну или несколько из следующих задач:

− ввод на компьютере разнообразных математических выражений (для дальнейших расчетов или создания документов, презентаций, Web-страниц или электронных книг);

− проведение математических расчетов;

− подготовка графиков с результатами расчетов;

− ввод исходных данных и вывод результатов в текстовые файлы или файлы с базами данных в других форматах;

− подготовка отчетов работы в виде печатных документов;

− подготовка Web-страниц и публикация результатов в Интернете;

− получение различной справочной информации из области математики.

Со всеми этими задачами с успехом справляется MathCAD 13:

− математические выражения и текст вводятся с помощью формульного редактора MathCAD, который по возможностям и простоте использования не уступает, к примеру, редактору формул, встроенному в

− математические расчеты производятся немедленно, в соответствии с введенными формулами;

− графики различных типов по выбору пользователя с богатыми возможностями форматирования вставляются непосредственно в документы;

− возможен ввод и вывод данных в файлы различных форматов;

− документы могут быть распечатаны непосредственно в MathCAD в том виде, который пользователь видит на экране компьютера, или сохранены

в формате RTF для последующего редактирования в текстовых редакторах;

− возможно полноценное сохранение документов MathCAD в формате RTF-документов, а также Web-страниц в форматах HTML и XML;

− имеется опция объединения разрабатываемых пользователем документов в электронные книги;

− символьные вычисления позволяют осуществлять аналитические преобразования, а также мгновенно получать разнообразную справочную математическую информацию.

Настоящим украшением MathCAD, доступным уже в первых версиях, была поддержка дискретных переменных, позволяющих одновременно вычислять функции для целого ряда значений аргумента, что обеспечивало возможность построения таблиц и графиков без применения операторов программирования. Почти до совершенства доведены средства построения графиков поверхностей, позволяющие создавать из графиков произведения искусства. Сложные инженерно-технологические расчеты в среде MathCAD выполняются значительно проще, понятнее и в несколько раз быстрее, чем в других программах.

Часть 1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ

Глава 1. ИНТЕРФЕЙС MATHCAD

Интерфейс MathCAD аналогичен интерфейсу других Windowsприложений. После запуска на экране появляется рабочее окно MathCAD с главным меню и тремя панелями инструментов: Standard (Стандартная), Formatting (Форматирование) и Math (Математическая).

Строка меню располагается в самой верхней части окна MathCAD. Она содержит девять заголовков, щелчок мышью на каждом из которых приводит

к появлению соответствующего меню с перечнем команд:

− File (Файл) – команды, связанные с созданием, открытием, сохранением, пересылкой по электронной почте и распечаткой на принтере файлов с документами;

− Edit (Правка) – команды, относящиеся к правке текста (копирование, вставка, удаление фрагментов и т.п.);

− View (Вид) – команды, управляющие внешним видом документа в окне редактора MathCAD, а также команды, создающие файлы анимации;

− Insert (Вставка) – команды вставки различных объектов в документы;

− Format (Формат) – команды форматирования текста, формул, графиков;

− Tools (Сервис) – команды управления вычислительным процессом и дополнительными возможностями;

− Symbolics (Символика) – команды символьных вычислений;

− Window (Окно) – команды управления расположением окон с различными документами на экране;

− Help (Справка) – команды вызова контекстно-зависимой справочной информации, сведений о версии программы, а также доступа к ресурсам и электронным книгам.

Чтобы выбрать команду, нужно щелкнуть мышью на содержащем ее меню и повторно на соответствующем элементе меню. Некоторые команды находятся не в самих меню, а в подменю, как это показано на рис. 1.1. Чтобы выполнить такую команду, например команду вызова на экран панели инструментов Symbolic (Cимволика), нужно навести указатель мыши на пункт Toolbars (Панели инструментов) выпадающего меню View (Вид) и выбрать в появившемся подменю пункт Symbolic (Символика).

Рис. 1.1. Работа с меню

Помимо верхнего меню схожие функции выполняют всплывающие меню (рис. 1.2). Они появляются при нажатии в каком-либо месте документа правой кнопки мыши. При этом состав данных меню зависит от места их вызова, поэтому их еще называют контекстными. MathCAD сам «догадывается», в зависимости от контекста, какие операции могут потребоваться в текущий момент, и помещает в меню соответствующие команды. Поэтому использовать контекстное меню проще, чем верхнее.

Рис. 1.2. Контекстное меню

1.2. Панели инструментов

Панели инструментов служат для быстрого (в один щелчок мыши) выполнения наиболее часто применяемых команд. Все действия, которые можно выполнить с помощью панелей инструментов, доступны и через

верхнее меню. На рис. 1.3 изображено окно MathCAD с пятью основными панелями инструментов, расположенными непосредственно под строкой меню. Кнопки в панелях сгруппированы по сходному действию команд:

− Standard (Стандартная) – служит для выполнения большинства операций, таких как действия с файлами, редакторская правка, вставка объектов, доступ к справочным системам;

− Formatting (Форматирование) – служит для форматирования (изменения типа и размера шрифта, выравнивания и т.п.) текста и формул;

− Math (Математика) – служит для вставки математических символов

и операторов в документы;

− Resources (Ресурсы) – служит для вызова ресурсов MathCAD;

− Controls (Элементы управления) – служит для вставки в документы стандартных элементов управления интерфейса пользователя;

− Debug (Отладка) – служитдляуправленияотладкойMathCAD-программ.

Рис. 1.3. Основные панели инструментов

Группы кнопок на панелях инструментов разграничены по смыслу вертикальными линиями – разделителями. При наведении указателя мыши на любую из кнопок рядом с кнопкой появляется всплывающая подсказка (рис. 1.4). Наряду со всплывающей подсказкой, более развернутое объяснение готовящейся операции можно отыскать в строке состояния.

Рис. 1.4. Использование панелей инструментов Math и Calculator

Панель Math (Математика) предназначена для вызова на экран еще девяти панелей (рис. 1.5), с помощью которых и происходит вставка математических операций в документы. Чтобы показать какую-либо из них, нужно нажать соответствующую кнопку на панели Math (рис. 1.4).

Рис. 1.5. Математические панели инструментов

Перечислим назначение математических панелей:

− Calculator (Калькулятор) – служит для вставки основных математических операций, получила свое название из-за схожести набора кнопок с кнопками типичного калькулятора;

− Graph (График) – для вставки графиков;

− Matrix (Матрица) – для вставки матриц и матричных операторов;

− Evaluation (Вычисления) – для вставки операторов управления вычислениями;

− Calculus (Матанализ) – для вставки операторов интегрирования, дифференцирования, суммирования и др.;

− Boolean (Булевы операторы) – для вставки логических (булевых) операторов;

− Programming (Программирование) – для программирования средствами MathCAD;

− Greek (Греческие символы) – для вставки греческих символов;

− Symbolic (Символика) – для вставки символьных операторов. Важно заметить, что при наведении указателя мыши на многие из

кнопок математических панелей появляется всплывающая подсказка, содержащая еще и сочетание « горячих клавиш», нажатие которых приведет к эквивалентному действию.

1.3. Строка состояния

В нижней части окна MathCAD, под горизонтальной полосой прокрутки, находится строка состояния . На ней отображается основная информация о режиме редактирования (рис. 1.6), разграниченная разделителями (слева направо):

− контекстно-зависимая подсказка о готовящемся действии;

− режим вычислений: автоматический (AUTO) или задаваемый вручную (Calc F9);

− текущий режим раскладки клавиатуры САР; − текущий режим раскладки клавиатуры NUM; − номер страницы, на которой находится курсор.

Рис. 1.6. Строка состояния

Глава 2. ОСНОВЫ РАБОТЫ В MATHCAD

2.1. Перемещение по документу

Просматривать документ вверх-вниз и вправо-влево удобно с помощью вертикальной и горизонтальной полос прокрутки, перемещая их бегунки (в этом случае обеспечивается плавное перемещение вдоль документа) или щелкая мышью с одной из двух сторон бегунка (при этом перемещение по документу будет скачкообразным). Также для перемещения курсора по документу можно использовать клавиши листания страниц И Во всех перечисленных случаях положение курсора не меняется, а просматривается содержание документа. Кроме того, если документ имеет большой размер, просматривать его содержимое удобно при помощи меню

Edit | Go to Page (Правка | Перейти к странице). При выборе этого пункта откроется диалог, позволяющий перейти к странице с заданным номером.

Для того чтобы двигаться по документу вверх-вниз и вправо-влево, перемещая курсор, следует нажимать на соответствующие клавиши управления курсором. Попадая в область регионов с формулами и текстом, курсор превращается в две линии ввода – вертикальную и горизонтальную синего цвета. При дальнейшем перемещении курсора внутри региона линии ввода смещаются на один символ в соответствующую сторону. При выходе за пределы региона курсор снова становится курсором ввода в виде красного крестика. Переместить курсор можно и щелчком мыши в соответствующем месте. Если щелкнуть на пустом месте, то в нем появится курсор ввода, а если в пределах региона – то линии ввода.

2.2. Ввод и редактирование формул

Формульный редактор MathCAD позволяет быстро и эффективно вводить и изменять математические выражения.

Перечислим еще раз элементы интерфейса редактора MathCAD:

− указатель мыши – играет обычную для приложений Windows роль, следуя за движениями мыши;

− курсор – обязательно находится в одном из трех видов:

– курсор ввода – крестик красного цвета, который отмечает пустое место в документе, куда можно вводить текст или формулу;

– линии ввода – горизонтальная и вертикальная линии синего цвета, выделяющие в тексте или формуле определенную часть;

– линия ввода текста – вертикальная линия, аналог линий ввода для текстовых областей;

− местозаполнители – появляются внутри незавершенных формул в местах, которые должны быть заполнены символом или оператором:

− местозаполнитель символа – черный прямоугольник;

− местозаполнитель оператора – черная прямоугольная рамка. Вводить математическое выражение можно в любом пустом месте

документа MathCAD. Для этого нужно поместить курсор ввода в желаемое место документа, щелкнув в нем мышью, и ввести формулу, нажимая клавиши. При этом в документе создается математическая область, которая предназначена для хранения формул, интерпретируемых процессором MathCAD. Продемонстрируем последовательность действий на примере ввода выражения x 5 + x (рис. 2.1):

1. Щелкнуть мышью, обозначив место ввода.

1. Рабочее окно MathCAD

· Панель Математика (рис. 1.4).

Рис. 1.4. Панель Математика

При щелчке на кнопке математической панели инструментов открывается дополнительная панель:

2. Элементы языка MathCAD

К основным элементам математических выражений MathCAD относятся операторы, константы, переменные, массивы и функции.

2.1 Операторы

Операторы -- элементы MathCAD, с помощью которых можно создавать математические выражения. К ним, например, относятся символы арифметических операций, знаки вычисления сумм, произведений, производной, интеграла и т.д.

Оператор определяет:

а) действие, которое должно выполняться при наличии тех или иных значений операндов;

б) сколько, где и какие операнды должны быть введены в оператор.

Операнд -- число или выражение, на которое действует оператор. Например, в выражении 5!+3 числа 5! и 3 -- операнды оператора «+» (плюс), а число 5 -- операнд факториала (!).

Любой оператор в MathCAD можно ввести двумя способами:

· нажав клавишу (сочетание клавиш) на клавиатуре;

· используя математическую панель.

Для присвоения или вывода содержимого ячейки памяти, связанной с переменной, используются следующие операторы:

Знак присвоения (вводится нажатием клавиши : на клавиатуре (двоеточие в английской раскладке клавиатуры) или нажатием соответствующей кнопки на панели Калькулятор );

Такое присвоение называется локальным . До этого присваивания переменная не определена и ее нельзя использовать.

Глобальный оператор присвоения. Это присвоение может производиться в любом месте документа. К примеру, если переменной присвоено таким образом значение в самом конце документа, то она будет иметь это же значение и в начале документа.

Оператор приближенного равенства (x1). Используется при решении систем уравнений. Вводится нажатием клавиши; на клавиатуре (точка с запятой в английской раскладке клавиатуры) или нажатием соответствующей кнопки на Булевой панели.

Оператор (простое равно), отведенный для вывода значения константы или переменной.

Простейшие вычисления

Процесс вычисления осуществляется при помощи:

Панели Калькулятора, Панели Исчислений и Панели Оценки.

Внимание . Если необходимо поделить все выражение в числителе, то его нужно первоначально выделить, нажав пробел на клавиатуре или поместив в скобки.

2.2 Константы

Константы -- поименованные объекты, хранящие некоторые значения, которые не могут быть изменены.

Например, = 3.14.

Размерные константы -- это общепринятые единицы измерения. Например, метры, секунды и т.д.

Чтобы записать размерную константу, необходимо после числа ввести знак * (умножить), выбрать пункт меню Вставка подпункт Юнит . В измерениях наиболее известные вам категории: Length -- длина (м, км, см); Mass -- вес (гр, кг, т); Time -- время (мин, сек, час).

2.3 Переменные

Переменные являются поименованными объектами, имеющими некоторое значение, которое может изменяться по ходу выполнения программы. Переменные могут быть числовыми, строковыми, символьными и т.д. Значения переменным задаются с помощью знака присвоить (: =).

Внимание . MathCAD прописные и строчные буквы воспринимает как разные идентификаторы.

Системные переменные

В MathCAD содержится небольшая группа особых объектов, которые нельзя отнести ни к классу констант, ни к классу переменных, значения которых определены сразу после запуска программы. Их правильнее считать системными переменными. Это, например, TOL - погрешность числовых расчетов, ORIGIN -- нижняя граница значения индекса индексации векторов, матриц и др. Значения этим переменным при необходимости можно задать другие.

Ранжированные переменные

Эти переменные имеют ряд фиксированных значений, либо целочисленных, либо изменяющихся с определенным шагом от начального значения до конечного.

Для создания ранжированной переменной используется выражение:

Name =N begin ,(N begin +Step)..N end ,

где Name -- имя переменной;

N begin -- начальное значение;

Step -- заданный шаг изменения переменной;

N end -- конечное значение.

Ранжированные переменные широко применяются при построении графиков. Например, для построения графика некоторой функции f (x ) прежде всего необходимо создать ряд значений переменной x -- для этого она должна быть ранжированной переменной.

Внимание. Если в диапазоне изменения переменной не указывать шаг, то программа автоматически примет его равным 1.

Пример . Переменная x изменяется в диапазоне от -16 до +16 с шагом 0.1

Чтобы записать ранжированную переменную, нужно ввести:

Имя переменной (x );

Знак присвоения (:=)

Первое значение диапазона (-16);

Запятую;

Второе значение диапазона, которое является суммой первого значения и шага (-16+0.1);

Многоточие (.. ) -- изменение переменной в заданных пределах (многоточие вводится нажатием точки с запятой в английской раскладке клавиатуры);

Последнее значение диапазона (16).

В результате у вас получится: x := -16,-16+0.1..16.

Таблицы вывода

Любое выражение с ранжированными переменными после знака равенства инициирует таблицу вывода.

В таблицы вывода можно и вставлять числовые значения и корректировать их.

Переменная с индексом

Переменная с индексом -- это переменная, которой присвоен набор не связанных друг с другом чисел, каждое из которых имеет свой номер (индекс).

Ввод индекса осуществляется нажатием левой квадратной скобки на клавиатуре или при помощи кнопки x n на панели Калькулятор .

В качестве индекса можно использовать как константу, так и выражение. Для инициализации переменной с индексом необходимо ввести элементы массива, разделяя их запятыми.

Пример . Ввод индексных переменных.

Ввод числовых значений в таблицу производится через запятую;

Вывод значения первого элемента вектора S;

Вывод значения нулевого элемента вектора S.

2.4 Массивы

Массив -- имеющая уникальное имя совокупность конечного числа числовых или символьных элементов, упорядоченных некоторым образом и имеющих определенные адреса.

В пакете MathCAD используются массивы двух наиболее распространенных типов:

одномерные (векторы);

двухмерные (матрицы).

Вывести шаблон матрицы или вектора можно одним из способов:

выбрать пункт меню Вставка - Матрица ;

нажать комбинацию клавиш Ctrl + M ;

нажать кнопку на Панел и векторов и матриц.

В результате появится диалоговое окно, в котором задается необходимое число строк и столбцов:

Rows -- число строк

Columns -- число столбцов

Если матрице (вектору) нужно присвоить имя, то вначале вводится имя матрицы (вектора), затем -- оператор присвоения и после -- шаблон матрицы.

Например :

Матрица -- двухмерный массив с именем М n , m , состоящий из n строк и m столбцов.

С матрицами можно выполнять различные математические операции.

2.5 Функции

Функция -- выражение, согласно которому производятся некоторые вычисления с аргументами и определяется его числовое значение. Примеры функций: sin (x ), tan (x ) и др.

Функции в пакете MathCAD могут быть как встроенными, так и определенными пользователем. Способы вставки встроенной функции:

Выбрать пункт меню Вставка - Функция .

Нажать комбинацию клавиш Ctrl + E .

Щелкнуть по кнопке на панели инструментов.

Набрать имя функции на клавиатуре.

Функции пользователя обычно используются при многократных вычислениях одного и того же выражения. Для того чтобы задать функцию пользователя необходимо:

· ввести имя функции с обязательным указанием в скобках аргумента, например, f(x);

· ввести оператор присвоения (:=);

· ввести вычисляемое выражение.

Пример . f(z ) := sin(2z 2)

3. Форматирование чисел

В MathCAD можно изменить формат вывода чисел. Обычно вычисления производятся с точностью 20 знаков, но выводятся на экран не все значащие цифры. Чтобы изменить формат числа, необходимо дважды щелкнуть на нужном численном результате. Появится окно форматирования чисел, открытое на вкладке Number Format (Формат чисел) со следующими форматами:

o General (Основной) -- принят по умолчанию. Числа отображаются с порядком (например, 1.2210 5). Число знаков мантиссы определяется в поле Exponential Threshold (Порог экспоненциального представления). При превышении порога число отображается с порядком. Число знаков после десятичной точки меняется в поле Number of decimal places .

o Decimal (Десятичный) -- десятичное представление чисел с плавающей точкой (например, 12.2316).

o Scientific (Научный) -- числа отображаются только с порядком.

o Engineering (Инженерный) -- числа отображаются только с порядком, кратным трем (например, 1.2210 6).

Внимание . Если после установления нужного формата в окне форматирования чисел выбрать кнопку Ок , формат установится только для выделенного числа. А если выбрать кнопку Set as Default, формат будет применен ко всем числам данного документа.

Автоматически числа округляются до нуля, если они меньше установленного порога. Порог устанавливается для всего документа, а не для конкретного результата. Для того чтобы изменить порог округления до нуля, необходимо выбрать пункт меню Форматирование - Результат и во вкладке Tolerance , в поле Zero threshold ввести необходимое значение порога.

4. Работа с текстом

Текстовые фрагменты представляют собой куски текста, которые пользователь хотел бы видеть в своем документе. Это могут быть пояснения, ссылки, комментарии и т.д. Они вставляются при помощи пункта меню Вставка - Текстовый регион .

Вы можете отформатировать текст: поменять шрифт, его размер, начертание, выравнивание и т.д. Для этого нужно его выделить и выбрать соответствующие параметры на панели шрифтов или в меню Форматирование - Текст .

5. Работа с графикой

При решении многих задач, где производится исследование функции, часто возникает необходимость в построении ее графика, где наглядно будет отражено поведение функции на определенном промежутке.

В системе MathCAD существует возможность построения различных видов графиков: в декартовой и полярной системе координат, трехмерных графиков, поверхностей тел вращения, многогранников, пространственных кривых, графиков векторного поля. Мы рассмотрим приемы построения некоторых из них.

5.1 Построение двухмерных графиков

Для построения двухмерного графика функции необходимо:

· задать функцию;

· установить курсор в то место, где должен быть построен график, на математической панели выбрать кнопку Graph (график) и в открывшейся панели кнопку X-Y Plot (двухмерный график);

· в появившемся шаблоне двухмерного графика, представляющем собой пустой прямоугольник с метками данных, в центральную метку данных по оси абсцисс (ось X) ввести имя переменной, а на месте центральной метки данных по оси ординат (ось Y) ввести имя функции (рис. 2.1);

Рис. 2.1. Шаблон двухмерного графика

щелкнуть мышью вне шаблона графика -- график функции будет построен.

Диапазон изменения аргумента состоит из 3-х значений: начальное, второе и конечное.

Пусть необходимо построить график функции на интервале [-2,2] с шагом 0.2. Значения переменной t задаются в виде диапазона следующим образом:

t := -2, - 1.8 .. 2 ,

где: -2 -- начальное значение диапазона;

1.8 (-2 + 0.2) -- второе значение диапазона (начальное значение плюс шаг);

2 -- конечное значение диапазона.

Внимание . Многоточие вводится нажатием точки с запятой в английской раскладке клавиатуры.

Пример . Построение графика функции y = x 2 на интервале [-5,5] с шагом 0.5 (рис. 2.2).

Рис. 2.2. Построение графика функции y = x 2

При построении графиков необходимо учитывать следующее:

° Если диапазон значений аргумента не задан, то по умолчанию график строится в диапазоне [-10,10].

° Если в одном шаблоне необходимо разместить несколько графиков, то имена функций указываются через запятую.

° Если две функции имеют различные аргументы, например f1(x) и f2(y), то на оси ординат (Y) через запятую указываются имена функций, а по оси абсцисс (X) -- имена обеих переменных тоже через запятую.

° Крайние метки данных на шаблоне графика служат для указания предельных значений абсцисс и ординат, т.е. они задают масштаб графика. Если оставить эти метки незаполненными, то масштаб будет установлен автоматически. Автоматический масштаб не всегда отражает график в нужном виде, поэтому предельные значения абсцисс и ординат приходится редактировать, изменяя вручную.

Примечание. Если после построения график не принимает нужный вид, можно:

· уменьшить шаг.

· изменить интервал построения графика.

· уменьшить на графике предельные значения абсцисс и ординат.

Пример . Построение окружности с центром в точке (2,3) и радиусом R = 6.

Уравнение окружности с центром в точке с координатами (x 0 ,y 0) и радиусом R записывается в виде:

Выразим из этого уравнения y :

Таким образом, для построения окружности необходимо задать две функции: верхнюю и нижнюю полуокружности. Диапазон значений аргумента вычисляется следующим образом:

Начальное значение диапазона = x 0 - R ;

Конечное значение диапазона = x 0 + R ;

Шаг лучше взять равным 0.1 (рис. 2.3.).

Рис. 2.3. Построение окружности

Параметрический график функции

Иногда бывает удобнее вместо уравнения линии, связывающего прямоугольные координаты x и y , рассматривать так называемые параметрические уравнения линии, дающие выражения текущих координат x и y в виде функций от некоторой переменной величины t (параметра): x (t ) и y (t ). При построении параметрического графика на осях ординат и абсцисс указываются имена функций одного аргумента.

Пример . Построение окружности с центром в точке с координатами (2,3) и радиусом R = 6. Для построения используется параметрическое уравнение окружности

x = x 0 + R cos(t ) y = y 0 + R sin(t ) (рис. 2.4.).

Рис.2.4. Построение окружности

Форматирование графиков

Чтобы отформатировать график, необходимо дважды щелкнуть по области графика. Откроется диалоговое окно форматирования графика. Ниже перечислены вкладки окна форматирования графика:

§ X - Y Axes -- форматирование осей координат. Установив нужные флажки можно:

· Log Scale -- представить численные значения на осях в логарифмическом масштабе (по умолчанию численные значения наносятся в линейном масштабе)

· Grid Lines -- нанести сетку линий;

· Numbered -- расставить числа по координатным осям;

· Auto Scale -- автоматический выбор предельных численных значений на осях (если этот флажок снят, предельными будут максимальные вычисленные значения);

· Show Marker -- нанесение меток на график в виде горизонтальных или вертикальных пунктирных линий, соответствующих указанному значению на оси, причем сами значения выводятся в конце линий (на каждой оси появляются 2 места ввода, в которые можно ввести численные значения, не вводить ничего, ввести одно число или буквенные обозначения констант);

· Auto G rid -- автоматический выбор числа линий сетки (если этот флажок снят, надо задать число линий в поле Number of Grids);

· Crossed -- ось абсцисс проходит через нуль ординаты;

· Boxed -- ось абсцисс проходит по нижнему краю графика.

§ Trace -- форматирование линии графиков функций. Для каждого графика в отдельности можно изменить:

· символ (Symbol) на графике для узловых точек (кружок, крестик, прямоугольник, ромб);

· вид линии (Solid -- сплошная, Dot -- пунктир, Dash -- штрихи, Dadot -- штрих-пунктир);

· цвет линии (Color);

· тип (Туре) графика (Lines -- линия, Points -- точки, Ваr или Solidbar -- столбики, Step -- ступенчатый график и т.д.);

· толщину линии (Weight).

§ Label -- заголовок в области графика. В поле Title (Заголовок) можно записать текст заголовка, выбрать его положение -- вверху или внизу графика (Above -- вверху, Below -- внизу). Можно вписать, если надо, названия аргумента и функции (Axis Labels ).

§ Defaults -- с помощью этой вкладки можно вернуться к виду графика, принятому по умолчанию (Change to default), либо сделанные вами изменения на графике использовать по умолчанию для всех графиков данного документа (Use for Defaults).

5.2 Построение полярных графиков

Для построения полярного графика функции необходимо:

· задать диапазон значений аргумента;

· задать функцию;

· установить курсор в то место, где должен быть построен график, на математической панели выбрать кнопку Graph (график) и в открывшейся панели кнопку Polar Plot (полярный график);

· в местах ввода появившегося шаблона необходимо ввести угловой аргумент функции (внизу) и имя функции (слева).

Пример . Построение лемнискаты Бернулли: (рис. 2.6.)

Рис.2.6. Пример построения полярного графика

5.3 Построение графиков поверхностей (трехмерные или 3D-графики)

При построении трехмерных графиков используется панель Graph (График) математической панели. Можно построить трехмерный график с помощью мастера, вызываемого из главного меню; можно построить график, создав матрицу значений функции двух переменных; можно задействовать ускоренный метод построения; можно вызвать специальные функции CreateMech и CreateSpase, предназначенные для создания массива значений функции и построения графика. Мы рассмотрим ускоренный метод построения трехмерного графика.

Быстрое построение графика

Для быстрого построения трехмерного графика функции необходимо:

· задать функцию;

· установить курсор в то место, где должен быть построен график, на математической панели выбрать кнопку Graph (График) и в открывшейся панели кнопку (Поверхностный график) ;

· в единственное место шаблона введите имя функции (не указывая переменные);

· щелкнуть мышью вне шаблона графика -- график функции будет построен.

Пример . Построение графика функции z (x ,y ) = x 2 + y 2 - 30 (рис. 2.7).

Рис. 2.7. Пример быстрого построения поверхностного графика

Построенным графиком можно управлять:

° вращение графика выполняется после наведения на него указателя мыши при нажатой левой кнопке мыши;

° масштабирование графика выполняется после наведения на него указателя мыши при одновременном нажатии левой кнопки мыши и клавиши Ctrl (если двигать мышь, график приближается или удаляется);

° анимация графика выполняется аналогично, но при нажатой дополнительно клавише Shift. Необходимо только начать вращение графика мышью, дальше анимация будет выполняться автоматически. Для остановки вращения следует щелкнуть левой кнопкой мыши внутри области графика.

Существует возможность построения сразу нескольких поверхностей на одном рисунке. Для этого необходимо задать обе функции и через запятую указать имена функций на шаблоне графика.

При быстром построении графика по умолчанию выбираются значения обоих аргументов в пределах от -5 до +5 и число контурных линий, равное 20. Для изменения этих значений необходимо:

· дважды щелкнуть по графику;

· в открывшемся окне выбрать вкладку Quick Plot Data;

· ввести новые значения в области окна Range1 -- для первого аргумента и Range2 -- для второго аргумента (start -- начальное значение, end -- конечное значение);

· в поле # of Grids изменить число линий сетки, покрывающих поверхность;

· щелкнуть на кнопке Ок.

Пример . Построение графика функции z (x ,y ) = -sin(x 2 + y 2) (рис. 2.9).

При построении этого графика пределы изменения значений обоих аргументов лучше выбрать от -2 до +2.

Рис. 2.9. Пример построения графика функции z (x ,y ) = -sin(x 2 + y 2)

Фор матирование трехмерных графиков

Для форматирования графика необходимо дважды щелкнуть по области построения -- появится окно форматирования с несколькими вкладками: Appearance , General , Axes , Lighting , Title , Backplanes , Special , Advanced , Quick Plot Data .

Назначение вкладки Quick Plot Data было рассмотрено выше.

Вкладка Appearance позволяет менять внешний вид графика. Поле Fill Options позволяет изменить параметры заливки, поле Line Option -- параметры линий, Point Options -- параметры точек.

Во вкладке General (общие) в группе View можно выбрать углы поворота изображенной поверхности вокруг всех трех осей; в группе Display as можно поменять тип графика.

Во вкладке Lighting (освещение) можно управлять освещением, установив флажок Enable Lighting (включить освещение) и переключатель On (включить). Одна из 6-ти возможных схем освещения выбирается в списке Lighting scheme (схема освещения).

6. Способы решения уравнений в MathCAD

В данном разделе мы узнаем, каким образом в системе MathCAD решаются простейшие уравнения вида F(x ) = 0. Решить уравнение аналитически -- значит найти все его корни, т.е. такие числа, при подстановке которых в исходное уравнение получим верное равенство. Решить уравнение графически -- значит найти точки пересечения графика функции с осью ОХ.

6. 1 Решение уравнений с помощью функции root(f(x),x)

Для решений уравнения с одним неизвестным вида F(x ) = 0 существует специальная функция

root (f (x ), x ) ,

где f (x ) -- выражение, равное нулю;

х -- аргумент.

Эта функция возвращает с заданной точностью значение переменной, при котором выражение f (x ) равно 0.

Внимани е. Если правая часть уравнения 0, то необходимо привести его к нормальному виду (перенести все в левую часть).

Перед использованием функции root необходимо задать аргументу х начальное приближение. Если корней несколько, то для отыскания каждого корня необходимо задавать свое начальное приближение.

Внимание . Перед решением желательно построить график функции, чтобы проверить, есть ли корни (пересекает ли график ось Ох), и если есть, то сколько. Начальное приближение можно выбрать по графику поближе к точке пересечения.

Пример. Решение уравнения с помощью функции root представлено на рисунке 3.1. Перед тем как приступить к решению в системе MathCAD, в уравнении все перенесем в левую часть. Уравнение примет вид: .

Рис. 3.1. Решение уравнения при помощи функции root

6. 2 Решение уравнений с помощью функции Polyroots(v)

Для одновременного нахождения всех корней полинома используют функцию Polyroots (v ), где v -- вектор коэффициентов полинома, начиная со свободного члена. Нулевые коэффициенты опускать нельзя. В отличие от функции root функция P olyroots не требует начального приближения.

Пример . Решение уравнения с помощью функции polyroots представлено на рисунке 3.2.

Рис. 3.2. Решение уравнения с помощью функции polyroots

6.3 Решение уравнений с помощью функции Find(x)

Функция Find (Найти) работает в ключевой связке с ключевым словом Given (Дано). Конструкция Given - Find использует расчетную методику, основанную на поиске корня вблизи точки начального приближения, заданной пользователем.

Если задано уравнение f (x ) = 0, то его можно решить следующим образом с помощью блока Given - Find :

Задать начальное приближение

Ввести служебное слово

Записать уравнение, используя знак жирное равно

Написать функцию find с неизвестной переменной в качестве параметра

В результате после знака равно выведется найденный корень.

Если существует несколько корней, то их можно найти, меняя начальное приближение х0 на близкое к искомому корню.

Пример. Решение уравнения с помощью функции find представлено на рисунке 3.3.

Рис. 3.3. Решение уравнения с помощью функции find

Иногда возникает необходимость отметить на графике какие-либо точки (например, точки пересечения функции с осью Ox). Для этого необходимо:

· указать значение x данной точки (по оси Ох) и значение функции в этой точке (по оси Оy);

· дважды щелкнуть по графику и в окне форматирования во вкладке Traces для соответствующей линии выбрать тип графика -- points, толщину линии -- 2 или 3.

Пример. На графике отмечена точка пересечения функции с осью Ох. Координата х этой точки была найдена в предыдущем примере: х = 2.742 (корень уравнения ) (рис. 3.4).

Рис. 3.4. График функции с отмеченной точкой пересечения

В окне форматирования графика во вкладке Traces для trace 2 изменены: тип графика -- points, толщина линии -- 3, цвет -- черный.

7. Решение систем уравнений

7.1 Решение систем линейных уравнений

Систему линейных уравнений можно решить м атричным методом (или через обратную матрицу или используя функцию lsolve (A,B)) и с использованием двух функций Find и функции Minerr .

Матричный метод

Пример. Дана система уравнений:

Решение данной системы уравнений матричным методом представлено на рисунке 4.1.

Рис. 4.1. Решение системы линейных уравнений матричным методом

Использование функции lsolve (A , B )

L solve (A,B) -- это встроенная функция, которая возвращает вектор Х для системы линейных уравнений при заданной матрице коэффициентов А и векторе свободных членов В.

Пример . Дана система уравнений:

Способ решения данной системы с использованием функции lsolve(A,B) приведен на рисунке 4.2.

Рис. 4.2. Решение системы линейных уравнений с использованием функции lsolve

Решение системы линейных уравнений с помощью функци и Find

При данном методе уравнения вводятся без использования матриц, т.е. в «натуральном виде». Предварительно необходимо указать начальные приближения неизвестных переменных. Это могут быть любые числа, входящие в область определения. Часто за них принимают столбец свободных членов.

Для того чтобы решить систему линейных уравнений с помощью вычислительного блока Given - Find , необходимо:

2) ввести служебное слово Given ;

жирное равно ();

4) написать функцию Find ,

Пример. Дана система уравнений:

Решение данной системы с помощью вычислительного блока Given - Find приведено на рисунке 4.3.

Рис. 4.3. Решение системы линейных уравнений с помощью функции Find

Приближенное р ешение системы линейных уравнений

Решение системы линейных уравнений с помощью функцию Minerr аналогично решению с помощью функции Find (используется тот же алгоритм), только функция Find дает точное решение, а Minerr -- приближенное. Если в результате поиска не может быть получено дальнейшее уточнение текущего приближения к решению, Miner r возвращает это приближение. Функция Find в этом случае возвращает сообщение об ошибке.

· Можно подобрать другое начальное приближение.

· Можно увеличить или уменьшить точность расчетов. Для этого в меню выбрать Math > Options (Математика - Опции), вкладка Built - In Variables (Встроенные переменные). В открывшейся вкладке необходимо уменьшить допустимую погрешность вычислений (Convergence Tolerance (TOL)). По умолчанию TOL = 0.001.

В нимание . При матричном методе решения необходимо переставить коэффициенты согласно возрастанию неизвестных х 1, х 2, х 3, х 4.

7.2 Решение систем нелинейных уравнений

Системы нелинейных уравнений в MathCAD решаются с помощью вычислительного блока Given - Find .

Конструкция Given - Find использует расчетную методику, основанную на поиске корня вблизи точки начального приближения, заданной пользователем.

Для решения системы уравнений с помощью блока Given - Find необходимо:

1) задать начальные приближения для всех переменных;

2) ввести служебное слово Given ;

3) записать систему уравнений, используя знак жирное равно ();

4) написать функцию Find , перечислив неизвестные переменные в качестве параметров функции.

В результате расчетов выведется вектор решения системы.

Если система имеет несколько решений, алгоритм следует повторить с другими начальными приближениями.

Примечание . Если решается система из двух уравнений с двумя неизвестными, перед решением желательно построить графики функций, чтобы проверить, есть ли корни у системы (пересекаются ли графики заданных функций), и если есть, то сколько. Начальное приближение можно выбрать по графику поближе к точке пересечения.

Пример . Дана система уравнений

Перед решением системы построим графики функций: параболы (первое уравнение) и прямой (второе уравнение). Построение графика прямой и параболы в одной системе координат приведено на рисунке 4.5:

Рис. 4.5. Построение графика двух функций в одной системе координат

Прямая и парабола пересекаются в двух точках, значит, система имеет два решения. По графику выбираем начальные приближения неизвестных x и y для каждого решения. Нахождение корней системы уравнений представлено на рисунке 4.6.

Рис. 4.6. Нахождение корней системы нелинейных уравнений

Для того чтобы отметить на графике точки пересечения параболы и прямой, координаты точек, найденные при решении системы, введем по оси Ох (значения х ) и по оси Оу (значения у ) через запятую. В окне форматирования графика во вкладке Traces для trace 3 и trace 4 изменим: тип графика -- points, толщина линии -- 3, цвет -- черный (рис. 4.7).

Рис. 4.7. Графики функций с отмеченными точками пересечения

8 . Примеры использования основных возможностей MathCAD для решения некоторых математических задач

В данном разделе приведены примеры решения задач, для решения которых необходимо решить уравнение или систему уравнений.

8. 1 Нахождение локальных экстремумов функций

Необходимое условие экстремума (максимума и/или минимума) непрерывной функции формулируется так: экстремумы могут иметь место только в тех точках, где производная или равна нулю, или не существует (в частности, обращается в бесконечность). Для нахождения экстремумов непрерывной функции сначала находят точки, удовлетворяющие необходимому условию, то есть находят все действительные корни уравнения.

Если построен график функции, то можно сразу увидеть -- максимум или минимум достигается в данной точке х . Если графика нет, то каждый из найденных корней исследуют одним из способов.

1-й с пособ . С равнени е знаков производной . Определяют знак производной в окрестности точки (в точках, отстоящих от экстремума функции по разные стороны на небольших расстояниях). Если знак производной при этом меняется от «+» к «-», то в данной точке функция имеет максимум. Если знак меняется от «-» к «+» , то в данной точке функция имеет минимум. Если знак производной не меняется, то экстремумов не существует.

2-й с пособ . В ычислени е второй производной . В этом случае вычисляется вторая производная в точке экстремума. Если она меньше нуля, то в данной точке функция имеет максимум, если она больше нуля, то минимум.

Пример . Нахождение экстремумов (минимумов/максимумов) функции.

Сначала построим график функции (рис. 6.1).

Рис. 6.1. Построение графика функции

Определим по графику начальные приближения значений х , соответствующих локальным экстремумам функции f (x ). Найдем эти экстремумы, решив уравнение. Для решения используем блок Given - Find (рис. 6.2.).

Рис. 6.2. Нахождение локальных экстремумов

Определим вид экстремумов перв ым способом , исследуя изменение знака производной в окрестности найденных значений (рис. 6.3).

Рис. 6.3. Определение вида экстремума

Из таблицы значений производной и из графика видно, что знак производной в окрестности точки x 1 меняется с плюса на минус, поэтому в этой точке функция достигает максимума. А в окрестности точки x 2 знак производной поменялся с минуса на плюс, поэтому в этой точке функция достигает минимума.

Определим вид экстремумов втор ым способом , вычисляя знак второй производной (рис. 6.4).

Рис. 6.4. Определение вида экстремума с помощью второй производной

Видно, что в точке x 1 вторая производная меньше нуля, значит, точка х 1 соответствует максимуму функции. А в точке x 2 вторая производная больше нуля, значит, точка х 2 соответствует минимуму функции.

8.2 Определение площадей фигур, ограниченных непрерывными линиями

Площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции f (x ) , отрезком на оси Ox и двумя вертикалями х = а и х = b , a < b , определяется по формуле: .

Пример . Нахождение площади фигуры, ограниченной линиями f (x ) = 1 - x 2 и y = 0.

Рис. 6.5. Нахождение площади фигуры, ограниченной линиями f (x ) = 1 - x 2 и y = 0

Площадь фигуры, заключенной между графиками функций f 1(x ) и f 2(x ) и прямыми х = а и х = b , вычисляется по формуле:

Внимание . Чтобы избежать ошибок при вычислении площади, разность функций надо брать по модулю. Таким образом, площадь будет всегда положительной величиной.

Пример . Нахождение площади фигуры, ограниченной линиями и. Решение представлено на рисунке 6.6.

1. Строим график функций.

2. Находим точки пересечения функций с помощью функции root. Начальные приближения определим по графику.

3. Найденные значения x подставляем в формулу как пределы интегрирования.

8. 3 Построение кривых по заданным точкам

Построение прямой, проходящей через две заданные точки

Для составления уравнения прямой, проходящей через две точки А(x 0,y 0) и B(x 1,y 1), предлагается следующий алгоритм:

где a и b -- коэффициенты прямой, которые нам требуется найти.

2. Данная система является линейной. В ней две неизвестные переменные: a и b

Пример. Построение прямой, проходящей через точки А(-2,-4) и В(5,7).

Подставим в уравнение прямой координаты данных точек и получим систему:

Решение этой системы в MathCAD представлено на рисунке 6.7.

Рис. 6.7.Решение системы

В результате решения системы получаем: а = 1.57, b = -0.857. Значит, уравнение прямой будет иметь вид: y = 1.57x - 0.857. Построим эту прямую (рис. 6.8).

Рис. 6.8. Построение прямой

Построение параболы , проходящей через три заданные точки

Для построения параболы, проходящей через три точки А(x 0,y 0), B(x 1,y 1) и C(x 2,y 2), алгоритм следующий:

1. Парабола задается уравнением

y = ax 2 + b х + с , где

а , b и с -- коэффициенты параболы, которые нам требуется найти.

Подставляем в это уравнение заданные координаты точек и получаем систему:

2. Данная система является линейной. В ней три неизвестные переменные: a , b и с . Систему можно решить матричным способом.

3. Полученные коэффициенты подставляем в уравнение и строим параболу.

Пример. Построение параболы, проходящей через точки А(-1,-4), B(1,-2) и C(3,16).

Подставляем в уравнение параболы заданные координаты точек и получаем систему:

Решение этой системы уравнений в MathCAD представлено на рисунке 6.9.

Рис. 6.9. Решение системы уравнений

В результате получены коэффициенты: a = 2, b = 1, c = -5. Получаем уравнение параболы: 2x 2 +x -5 = y . Построим эту параболу (рис. 6.10).

Рис. 6.10. Построение параболы

Построение окружности, проходящей через три заданные точки

Для построения окружности, проходящей через три точки А(x 1,y 1), B(x 2,y 2) и C(x 3,y 3), можно воспользоваться следующим алгоритмом:

1. Окружность задается уравнением

где x0,y0 -- координаты центра окружности;

R -- радиус окружности.

2. Подставим в уравнение окружности заданные коорди...........

1. Рабочее окно MathCAD

· Панель Математика (рис. 1.4).

Рис. 1.4. Панель Математика

При щелчке на кнопке математической панели инструментов открывается дополнительная панель:

2. Элементы языка MathCAD

К основным элементам математических выражений MathCAD относятся операторы, константы, переменные, массивы и функции.

2.1 Операторы

Операторы -- элементы MathCAD, с помощью которых можно создавать математические выражения. К ним, например, относятся символы арифметических операций, знаки вычисления сумм, произведений, производной, интеграла и т. д.

Оператор определяет:

а) действие, которое должно выполняться при наличии тех или иных значений операндов;

б) сколько, где и какие операнды должны быть введены в оператор.

Операнд -- число или выражение, на которое действует оператор. Например, в выражении 5!+3 числа 5! и 3 -- операнды оператора «+» (плюс), а число 5 -- операнд факториала (!).

Любой оператор в MathCAD можно ввести двумя способами:

· нажав клавишу (сочетание клавиш) на клавиатуре;

· используя математическую панель.

Для присвоения или вывода содержимого ячейки памяти, связанной с переменной, используются следующие операторы:

Знак присвоения (вводится нажатием клавиши : на клавиатуре (двоеточие в английской раскладке клавиатуры) или нажатием соответствующей кнопки на панели Калькулятор );

Такое присвоение называется локальным . До этого присваивания переменная не определена и ее нельзя использовать.

Глобальный оператор присвоения. Это присвоение может производиться в любом месте документа. К примеру, если переменной присвоено таким образом значение в самом конце документа, то она будет иметь это же значение и в начале документа.

Оператор приближенного равенства (x1). Используется при решении систем уравнений. Вводится нажатием клавиши; на клавиатуре (точка с запятой в английской раскладке клавиатуры) или нажатием соответствующей кнопки на Булевой панели.

Оператор (простое равно), отведенный для вывода значения константы или переменной.

Простейшие вычисления

Процесс вычисления осуществляется при помощи:

Панели Калькулятора, Панели Исчислений и Панели Оценки.

Внимание . Если необходимо поделить все выражение в числителе, то его нужно первоначально выделить, нажав пробел на клавиатуре или поместив в скобки.

2.2 Константы

Константы -- поименованные объекты, хранящие некоторые значения, которые не могут быть изменены.

Например, = 3.14.

Размерные константы -- это общепринятые единицы измерения. Например, метры, секунды и т. д.

Чтобы записать размерную константу, необходимо после числа ввести знак * (умножить), выбрать пункт меню Вставка подпункт Юнит . В измерениях наиболее известные вам категории: Length -- длина (м, км, см); Mass -- вес (гр, кг, т); Time -- время (мин, сек, час).

2.3 Переменные

Переменные являются поименованными объектами, имеющими некоторое значение, которое может изменяться по ходу выполнения программы. Переменные могут быть числовыми, строковыми, символьными и т. д. Значения переменным задаются с помощью знака присвоить (: =).

Внимание . MathCAD прописные и строчные буквы воспринимает как разные идентификаторы.

Системные переменные

В MathCAD содержится небольшая группа особых объектов, которые нельзя отнести ни к классу констант, ни к классу переменных, значения которых определены сразу после запуска программы. Их правильнее считать системными переменными. Это, например, TOL - погрешность числовых расчетов, ORIGIN -- нижняя граница значения индекса индексации векторов, матриц и др. Значения этим переменным при необходимости можно задать другие.

Ранжированные переменные

Эти переменные имеют ряд фиксированных значений, либо целочисленных, либо изменяющихся с определенным шагом от начального значения до конечного.

Для создания ранжированной переменной используется выражение:

Name =N begin ,(N begin +Step).N end ,

где Name -- имя переменной;

N begin -- начальное значение;

Step -- заданный шаг изменения переменной;

N end -- конечное значение.

Ранжированные переменные широко применяются при построении графиков. Например, для построения графика некоторой функции f (x ) прежде всего необходимо создать ряд значений переменной x -- для этого она должна быть ранжированной переменной.

Внимание. Если в диапазоне изменения переменной не указывать шаг, то программа автоматически примет его равным 1.

Пример . Переменная x изменяется в диапазоне от -16 до +16 с шагом 0.1

Чтобы записать ранжированную переменную, нужно ввести:

— имя переменной (x );

— знак присвоения (:=)

— первое значение диапазона (-16);

— запятую;

— второе значение диапазона, которое является суммой первого значения и шага (-16+0.1);

— многоточие (. ) -- изменение переменной в заданных пределах (многоточие вводится нажатием точки с запятой в английской раскладке клавиатуры);

— последнее значение диапазона (16).

В результате у вас получится: x := -16,-16+0.1.16.

Таблицы вывода

Любое выражение с ранжированными переменными после знака равенства инициирует таблицу вывода.

В таблицы вывода можно и вставлять числовые значения и корректировать их.

Переменная с индексом

Переменная с индексом -- это переменная, которой присвоен набор не связанных друг с другом чисел, каждое из которых имеет свой номер (индекс).

Ввод индекса осуществляется нажатием левой квадратной скобки на клавиатуре или при помощи кнопки x n на панели Калькулятор .

В качестве индекса можно использовать как константу, так и выражение. Для инициализации переменной с индексом необходимо ввести элементы массива, разделяя их запятыми.

Пример . Ввод индексных переменных.

Ввод числовых значений в таблицу производится через запятую;

Вывод значения первого элемента вектора S;

Вывод значения нулевого элемента вектора S.

2.4 Массивы

Массив -- имеющая уникальное имя совокупность конечного числа числовых или символьных элементов, упорядоченных некоторым образом и имеющих определенные адреса.

В пакете MathCAD используются массивы двух наиболее распространенных типов:

одномерные (векторы);

двухмерные (матрицы).

Вывести шаблон матрицы или вектора можно одним из способов:

выбрать пункт меню Вставка - Матрица ;

нажать комбинацию клавиш Ctrl + M ;

нажать кнопку на Панел и векторов и матриц.

В результате появится диалоговое окно, в котором задается необходимое число строк и столбцов:

Rows -- число строк

Columns -- число столбцов Если матрице (вектору) нужно присвоить имя, то вначале вводится имя матрицы (вектора), затем -- оператор присвоения и после -- шаблон матрицы.

Например :

Матрица -- двухмерный массив с именем М n , m , состоящий из n строк и m столбцов.

С матрицами можно выполнять различные математические операции.

2.5 Функции

Функция -- выражение, согласно которому производятся некоторые вычисления с аргументами и определяется его числовое значение. Примеры функций: sin (x ), tan (x ) и др.

Функции в пакете MathCAD могут быть как встроенными, так и определенными пользователем. Способы вставки встроенной функции:

Выбрать пункт меню Вставка — Функция .

Нажать комбинацию клавиш Ctrl + E .

Щелкнуть по кнопке на панели инструментов.

Набрать имя функции на клавиатуре.

Функции пользователя обычно используются при многократных вычислениях одного и того же выражения. Для того чтобы задать функцию пользователя необходимо:

· ввести имя функции с обязательным указанием в скобках аргумента, например, f (x);

· ввести оператор присвоения (:=);

· ввести вычисляемое выражение.

Пример . f(z ) := sin (2z 2)

3. Форматирование чисел

В MathCAD можно изменить формат вывода чисел. Обычно вычисления производятся с точностью 20 знаков, но выводятся на экран не все значащие цифры. Чтобы изменить формат числа, необходимо дважды щелкнуть на нужном численном результате. Появится окно форматирования чисел, открытое на вкладке Number Format (Формат чисел) со следующими форматами:

o General (Основной) -- принят по умолчанию. Числа отображаются с порядком (например, 1.2210 5). Число знаков мантиссы определяется в поле Exponential Threshold (Порог экспоненциального представления). При превышении порога число отображается с порядком. Число знаков после десятичной точки меняется в поле Number of decimal places .

o Decimal (Десятичный) -- десятичное представление чисел с плавающей точкой (например, 12.2316).

o Scientific (Научный) -- числа отображаются только с порядком.

o Engineering (Инженерный) -- числа отображаются только с порядком, кратным трем (например, 1.2210 6).

Внимание . Если после установления нужного формата в окне форматирования чисел выбрать кнопку Ок , формат установится только для выделенного числа. А если выбрать кнопку Set as Default, формат будет применен ко всем числам данного документа.

Автоматически числа округляются до нуля, если они меньше установленного порога. Порог устанавливается для всего документа, а не для конкретного результата. Для того чтобы изменить порог округления до нуля, необходимо выбрать пункт меню Форматирование — Результат и во вкладке Tolerance , в поле Zero threshold ввести необходимое значение порога.

4. Работа с текстом

Текстовые фрагменты представляют собой куски текста, которые пользователь хотел бы видеть в своем документе. Это могут быть пояснения, ссылки, комментарии и т. д. Они вставляются при помощи пункта меню Вставка — Текстовый регион .

Вы можете отформатировать текст: поменять шрифт, его размер, начертание, выравнивание и т. д. Для этого нужно его выделить и выбрать соответствующие параметры на панели шрифтов или в меню Форматирование — Текст .

5. Работа с графикой

При решении многих задач, где производится исследование функции, часто возникает необходимость в построении ее графика, где наглядно будет отражено поведение функции на определенном промежутке.

В системе MathCAD существует возможность построения различных видов графиков: в декартовой и полярной системе координат, трехмерных графиков, поверхностей тел вращения, многогранников, пространственных кривых, графиков векторного поля. Мы рассмотрим приемы построения некоторых из них.

5.1 Построение двухмерных графиков

Для построения двухмерного графика функции необходимо:

· задать функцию;

· установить курсор в то место, где должен быть построен график, на математической панели выбрать кнопку Graph (график) и в открывшейся панели кнопку X-Y Plot (двухмерный график);

· в появившемся шаблоне двухмерного графика, представляющем собой пустой прямоугольник с метками данных, в центральную метку данных по оси абсцисс (ось X) ввести имя переменной, а на месте центральной метки данных по оси ординат (ось Y) ввести имя функции (рис. 2.1);

Рис. 2.1. Шаблон двухмерного графика

щелкнуть мышью вне шаблона графика -- график функции будет построен.

Диапазон изменения аргумента состоит из 3-х значений: начальное, второе и конечное.

Пусть необходимо построить график функции на интервале [-2,2] с шагом 0.2. Значения переменной t задаются в виде диапазона следующим образом:

t := —2, - 1.8 . 2 ,

где: -2 -- начальное значение диапазона;

1.8 (-2 + 0.2) -- второе значение диапазона (начальное значение плюс шаг);

2 -- конечное значение диапазона.

Внимание . Многоточие вводится нажатием точки с запятой в английской раскладке клавиатуры.

Пример . Построение графика функции y = x 2 на интервале [-5,5] с шагом 0.5 (рис. 2.2).

Рис. 2.2. Построение графика функции y = x 2

При построении графиков необходимо учитывать следующее:

° Если диапазон значений аргумента не задан, то по умолчанию график строится в диапазоне [-10,10].

° Если в одном шаблоне необходимо разместить несколько графиков, то имена функций указываются через запятую.

° Если две функции имеют различные аргументы, например f1(x) и f2(y), то на оси ординат (Y) через запятую указываются имена функций, а по оси абсцисс (X) -- имена обеих переменных тоже через запятую.

° Крайние метки данных на шаблоне графика служат для указания предельных значений абсцисс и ординат, т. е. они задают масштаб графика. Если оставить эти метки незаполненными, то масштаб будет установлен автоматически. Автоматический масштаб не всегда отражает график в нужном виде, поэтому предельные значения абсцисс и ординат приходится редактировать, изменяя вручную.

Примечание. Если после построения график не принимает нужный вид, можно:

· уменьшить шаг.

· изменить интервал построения графика.

· уменьшить на графике предельные значения абсцисс и ординат.

Пример . Построение окружности с центром в точке (2,3) и радиусом R = 6.

Уравнение окружности с центром в точке с координатами (x 0 ,y 0) и радиусом R записывается в виде:

Выразим из этого уравнения y :

Таким образом, для построения окружности необходимо задать две функции: верхнюю и нижнюю полуокружности. Диапазон значений аргумента вычисляется следующим образом:

— начальное значение диапазона = x 0 — R ;

— конечное значение диапазона = x 0 + R ;

— шаг лучше взять равным 0.1 (рис. 2.3.).

Рис. 2.3. Построение окружности

Параметрический график функции

Иногда бывает удобнее вместо уравнения линии, связывающего прямоугольные координаты x и y , рассматривать так называемые параметрические уравнения линии, дающие выражения текущих координат x и y в виде функций от некоторой переменной величины t (параметра): x (t ) и y (t ). При построении параметрического графика на осях ординат и абсцисс указываются имена функций одного аргумента.

Пример . Построение окружности с центром в точке с координатами (2,3) и радиусом R = 6. Для построения используется параметрическое уравнение окружности

x = x 0 + R cos (t ) y = y 0 + R sin (t ) (рис. 2.4.).

Рис. 2.4. Построение окружности

Форматирование графиков

Чтобы отформатировать график, необходимо дважды щелкнуть по области графика. Откроется диалоговое окно форматирования графика. Ниже перечислены вкладки окна форматирования графика:

§ X - Y Axes -- форматирование осей координат. Установив нужные флажки можно:

· Log Scale -- представить численные значения на осях в логарифмическом масштабе (по умолчанию численные значения наносятся в линейном масштабе)

· Grid Lines -- нанести сетку линий;

· Numbered -- расставить числа по координатным осям;

· Auto Scale -- автоматический выбор предельных численных значений на осях (если этот флажок снят, предельными будут максимальные вычисленные значения);

· Show Marker -- нанесение меток на график в виде горизонтальных или вертикальных пунктирных линий, соответствующих указанному значению на оси, причем сами значения выводятся в конце линий (на каждой оси появляются 2 места ввода, в которые можно ввести численные значения, не вводить ничего, ввести одно число или буквенные обозначения констант);

· Auto G rid -- автоматический выбор числа линий сетки (если этот флажок снят, надо задать число линий в поле Number of Grids);

· Crossed -- ось абсцисс проходит через нуль ординаты;

· Boxed -- ось абсцисс проходит по нижнему краю графика.

§ Trace -- форматирование линии графиков функций. Для каждого графика в отдельности можно изменить:

· символ (Symbol) на графике для узловых точек (кружок, крестик, прямоугольник, ромб);

· вид линии (Solid -- сплошная, Dot -- пунктир, Dash -- штрихи, Dadot -- штрих-пунктир);

· цвет линии (Color);

· тип (Туре) графика (Lines -- линия, Points -- точки, Ваr или Solidbar -- столбики, Step -- ступенчатый график и т. д.);

· толщину линии (Weight).

§ Label -- заголовок в области графика. В поле Title (Заголовок) можно записать текст заголовка, выбрать его положение -- вверху или внизу графика (Above -- вверху, Below -- внизу). Можно вписать, если надо, названия аргумента и функции (Axis Labels ).

§ Defaults -- с помощью этой вкладки можно вернуться к виду графика, принятому по умолчанию (Change to default), либо сделанные вами изменения на графике использовать по умолчанию для всех графиков данного документа (Use for Defaults).

5.2 Построение полярных графиков

Для построения полярного графика функции необходимо:

· задать диапазон значений аргумента;

· задать функцию;

· установить курсор в то место, где должен быть построен график, на математической панели выбрать кнопку Graph (график) и в открывшейся панели кнопку Polar Plot (полярный график);

· в местах ввода появившегося шаблона необходимо ввести угловой аргумент функции (внизу) и имя функции (слева).

Пример . Построение лемнискаты Бернулли: (рис. 2.6.)

Рис. 2.6. Пример построения полярного графика

5.3 Построение графиков поверхностей (трехмерные или 3D-графики)

При построении трехмерных графиков используется панель Graph (График) математической панели. Можно построить трехмерный график с помощью мастера, вызываемого из главного меню; можно построить график, создав матрицу значений функции двух переменных; можно задействовать ускоренный метод построения; можно вызвать специальные функции CreateMech и CreateSpase, предназначенные для создания массива значений функции и построения графика. Мы рассмотрим ускоренный метод построения трехмерного графика.

Быстрое построение графика

Для быстрого построения трехмерного графика функции необходимо:

· задать функцию;

· установить курсор в то место, где должен быть построен график, на математической панели выбрать кнопку Graph (График) и в открывшейся панели кнопку (Поверхностный график) ;

· в единственное место шаблона введите имя функции (не указывая переменные);

· щелкнуть мышью вне шаблона графика -- график функции будет построен.

Пример . Построение графика функции z (x ,y ) = x 2 + y 2 — 30 (рис. 2.7).

Рис. 2.7. Пример быстрого построения поверхностного графика

Построенным графиком можно управлять:

° вращение графика выполняется после наведения на него указателя мыши при нажатой левой кнопке мыши;

° масштабирование графика выполняется после наведения на него указателя мыши при одновременном нажатии левой кнопки мыши и клавиши Ctrl (если двигать мышь, график приближается или удаляется);

° анимация графика выполняется аналогично, но при нажатой дополнительно клавише Shift. Необходимо только начать вращение графика мышью, дальше анимация будет выполняться автоматически. Для остановки вращения следует щелкнуть левой кнопкой мыши внутри области графика.

Существует возможность построения сразу нескольких поверхностей на одном рисунке. Для этого необходимо задать обе функции и через запятую указать имена функций на шаблоне графика.

При быстром построении графика по умолчанию выбираются значения обоих аргументов в пределах от -5 до +5 и число контурных линий, равное 20. Для изменения этих значений необходимо:

· дважды щелкнуть по графику;

· в открывшемся окне выбрать вкладку Quick Plot Data;

· ввести новые значения в области окна Range1 -- для первого аргумента и Range2 -- для второго аргумента (start -- начальное значение, end -- конечное значение);

· в поле # of Grids изменить число линий сетки, покрывающих поверхность;

· щелкнуть на кнопке Ок.

Пример . Построение графика функции z (x ,y ) = -sin (x 2 + y 2) (рис. 2.9).

При построении этого графика пределы изменения значений обоих аргументов лучше выбрать от -2 до +2.

Рис. 2.9. Пример построения графика функции z (x ,y ) = -sin (x 2 + y 2)

Фор матирование трехмерных графиков

Для форматирования графика необходимо дважды щелкнуть по области построения -- появится окно форматирования с несколькими вкладками: Appearance , General , Axes , Lighting , Title , Backplanes , Special , Advanced , Quick Plot Data .

Назначение вкладки Quick Plot Data было рассмотрено выше (23, "https://сайт").

Вкладка Appearance позволяет менять внешний вид графика. Поле Fill Options позволяет изменить параметры заливки, поле Line Option -- параметры линий, Point Options -- параметры точек.

Во вкладке General (общие) в группе View можно выбрать углы поворота изображенной поверхности вокруг всех трех осей; в группе Display as можно поменять тип графика.

Во вкладке Lighting (освещение) можно управлять освещением, установив флажок Enable Lighting (включить освещение) и переключатель On (включить). Одна из 6-ти возможных схем освещения выбирается в списке Lighting scheme (схема освещения).

6. Способы решения уравнений в MathCAD

В данном разделе мы узнаем, каким образом в системе MathCAD решаются простейшие уравнения вида F (x ) = 0. Решить уравнение аналитически -- значит найти все его корни, т. е. такие числа, при подстановке которых в исходное уравнение получим верное равенство. Решить уравнение графически -- значит найти точки пересечения графика функции с осью ОХ.

6. 1 Решение уравнений с помощью функции root (f (x), x)

Для решений уравнения с одним неизвестным вида F (x ) = 0 существует специальная функция

root (f (x ), x ) ,

где f (x ) -- выражение, равное нулю;

х -- аргумент.

Эта функция возвращает с заданной точностью значение переменной, при котором выражение f (x ) равно 0.

Внимани е. Если правая часть уравнения 0, то необходимо привести его к нормальному виду (перенести все в левую часть).

Перед использованием функции root необходимо задать аргументу х начальное приближение. Если корней несколько, то для отыскания каждого корня необходимо задавать свое начальное приближение.

Внимание . Перед решением желательно построить график функции, чтобы проверить, есть ли корни (пересекает ли график ось Ох), и если есть, то сколько. Начальное приближение можно выбрать по графику поближе к точке пересечения.

Пример. Решение уравнения с помощью функции root представлено на рисунке 3.1. Перед тем как приступить к решению в системе MathCAD, в уравнении все перенесем в левую часть. Уравнение примет вид: .

Рис. 3.1. Решение уравнения при помощи функции root

6. 2 Решение уравнений с помощью функции Polyroots (v)

Для одновременного нахождения всех корней полинома используют функцию Polyroots (v ), где v -- вектор коэффициентов полинома, начиная со свободного члена. Нулевые коэффициенты опускать нельзя. В отличие от функции root функция P olyroots не требует начального приближения.

Пример . Решение уравнения с помощью функции polyroots представлено на рисунке 3.2.

Рис. 3.2. Решение уравнения с помощью функции polyroots

6.3 Решение уравнений с помощью функции Find (x)

Функция Find (Найти) работает в ключевой связке с ключевым словом Given (Дано). Конструкция Given — Find

Если задано уравнение f (x ) = 0, то его можно решить следующим образом с помощью блока Given - Find :

— задать начальное приближение

— ввести служебное слово

— записать уравнение, используя знак жирное равно

— написать функцию find с неизвестной переменной в качестве параметра

В результате после знака равно выведется найденный корень.

Если существует несколько корней, то их можно найти, меняя начальное приближение х0 на близкое к искомому корню.

Пример. Решение уравнения с помощью функции find представлено на рисунке 3.3.

Рис. 3.3. Решение уравнения с помощью функции find

Иногда возникает необходимость отметить на графике какие-либо точки (например, точки пересечения функции с осью Ox). Для этого необходимо:

· указать значение x данной точки (по оси Ох) и значение функции в этой точке (по оси Оy);

· дважды щелкнуть по графику и в окне форматирования во вкладке Traces для соответствующей линии выбрать тип графика -- points, толщину линии -- 2 или 3.

Пример. На графике отмечена точка пересечения функции с осью Ох. Координата х этой точки была найдена в предыдущем примере: х = 2.742 (корень уравнения ) (рис. 3.4).

Рис. 3.4. График функции с отмеченной точкой пересечения В окне форматирования графика во вкладке Traces для trace 2 изменены: тип графика -- points, толщина линии -- 3, цвет -- черный.

7. Решение систем уравнений

7.1 Решение систем линейных уравнений

Систему линейных уравнений можно решить м атричным методом (или через обратную матрицу или используя функцию lsolve (A, B)) и с использованием двух функций Find и функции Minerr .

Матричный метод

Пример. Дана система уравнений:

Решение данной системы уравнений матричным методом представлено на рисунке 4.1.

Рис. 4.1. Решение системы линейных уравнений матричным методом

Использование функции lsolve (A , B )

L solve (A, B) -- это встроенная функция, которая возвращает вектор Х для системы линейных уравнений при заданной матрице коэффициентов, А и векторе свободных членов В.

Пример . Дана система уравнений:

Способ решения данной системы с использованием функции lsolve (A, B) приведен на рисунке 4.2.

Рис. 4.2. Решение системы линейных уравнений с использованием функции lsolve

Решение системы линейных уравнений с помощью функци и Find

При данном методе уравнения вводятся без использования матриц, т. е. в «натуральном виде». Предварительно необходимо указать начальные приближения неизвестных переменных. Это могут быть любые числа, входящие в область определения. Часто за них принимают столбец свободных членов.

Для того чтобы решить систему линейных уравнений с помощью вычислительного блока Given - Find , необходимо:

2) ввести служебное слово Given ;

жирное равно ();

4) написать функцию Find ,

Пример. Дана система уравнений:

Решение данной системы с помощью вычислительного блока Given - Find приведено на рисунке 4.3.

Рис. 4.3. Решение системы линейных уравнений с помощью функции Find

Приближенное р ешение системы линейных уравнений

Решение системы линейных уравнений с помощью функцию Minerr аналогично решению с помощью функции Find (используется тот же алгоритм), только функция Find дает точное решение, а Minerr -- приближенное. Если в результате поиска не может быть получено дальнейшее уточнение текущего приближения к решению, Miner r возвращает это приближение. Функция Find в этом случае возвращает сообщение об ошибке.

· Можно подобрать другое начальное приближение.

· Можно увеличить или уменьшить точность расчетов. Для этого в меню выбрать Math > Options (Математика — Опции), вкладка Built - In Variables (Встроенные переменные). В открывшейся вкладке необходимо уменьшить допустимую погрешность вычислений (Convergence Tolerance (TOL)). По умолчанию TOL = 0.001.

В нимание . При матричном методе решения необходимо переставить коэффициенты согласно возрастанию неизвестных х 1, х 2, х 3, х 4.

7.2 Решение систем нелинейных уравнений

Системы нелинейных уравнений в MathCAD решаются с помощью вычислительного блока Given - Find .

Конструкция Given - Find использует расчетную методику, основанную на поиске корня вблизи точки начального приближения, заданной пользователем.

Для решения системы уравнений с помощью блока Given - Find необходимо:

1) задать начальные приближения для всех переменных;

2) ввести служебное слово Given ;

3) записать систему уравнений, используя знак жирное равно ();

4) написать функцию Find , перечислив неизвестные переменные в качестве параметров функции.

В результате расчетов выведется вектор решения системы.

Если система имеет несколько решений, алгоритм следует повторить с другими начальными приближениями.

Примечание . Если решается система из двух уравнений с двумя неизвестными, перед решением желательно построить графики функций, чтобы проверить, есть ли корни у системы (пересекаются ли графики заданных функций), и если есть, то сколько. Начальное приближение можно выбрать по графику поближе к точке пересечения.

Пример . Дана система уравнений

Перед решением системы построим графики функций: параболы (первое уравнение) и прямой (второе уравнение). Построение графика прямой и параболы в одной системе координат приведено на рисунке 4.5:

Рис. 4.5. Построение графика двух функций в одной системе координат Прямая и парабола пересекаются в двух точках, значит, система имеет два решения. По графику выбираем начальные приближения неизвестных x и y для каждого решения. Нахождение корней системы уравнений представлено на рисунке 4.6.

Рис. 4.6. Нахождение корней системы нелинейных уравнений Для того чтобы отметить на графике точки пересечения параболы и прямой, координаты точек, найденные при решении системы, введем по оси Ох (значения х ) и по оси Оу (значения у ) через запятую. В окне форматирования графика во вкладке Traces для trace 3 и trace 4 изменим: тип графика -- points, толщина линии -- 3, цвет -- черный (рис. 4.7).

Рис. 4.7. Графики функций с отмеченными точками пересечения

8 . Примеры использования основных возможностей MathCAD для решения некоторых математических задач

В данном разделе приведены примеры решения задач, для решения которых необходимо решить уравнение или систему уравнений.

8. 1 Нахождение локальных экстремумов функций

Необходимое условие экстремума (максимума и/или минимума) непрерывной функции формулируется так: экстремумы могут иметь место только в тех точках, где производная или равна нулю, или не существует (в частности, обращается в бесконечность). Для нахождения экстремумов непрерывной функции сначала находят точки, удовлетворяющие необходимому условию, то есть находят все действительные корни уравнения.

Если построен график функции, то можно сразу увидеть -- максимум или минимум достигается в данной точке х . Если графика нет, то каждый из найденных корней исследуют одним из способов.

1-й с пособ . С равнени е знаков производной . Определяют знак производной в окрестности точки (в точках, отстоящих от экстремума функции по разные стороны на небольших расстояниях). Если знак производной при этом меняется от «+» к «-», то в данной точке функция имеет максимум. Если знак меняется от «-» к «+», то в данной точке функция имеет минимум. Если знак производной не меняется, то экстремумов не существует.

2-й с пособ . В ычислени е второй производной . В этом случае вычисляется вторая производная в точке экстремума. Если она меньше нуля, то в данной точке функция имеет максимум, если она больше нуля, то минимум.

Пример . Нахождение экстремумов (минимумов/максимумов) функции.

Сначала построим график функции (рис. 6.1).

Рис. 6.1. Построение графика функции

Определим по графику начальные приближения значений х , соответствующих локальным экстремумам функции f (x ). Найдем эти экстремумы, решив уравнение. Для решения используем блок Given — Find (рис. 6.2.).

Рис. 6.2. Нахождение локальных экстремумов

Определим вид экстремумов перв ым способом , исследуя изменение знака производной в окрестности найденных значений (рис. 6.3).

Рис. 6.3. Определение вида экстремума

Из таблицы значений производной и из графика видно, что знак производной в окрестности точки x 1 меняется с плюса на минус, поэтому в этой точке функция достигает максимума. А в окрестности точки x 2 знак производной поменялся с минуса на плюс, поэтому в этой точке функция достигает минимума.

Определим вид экстремумов втор ым способом , вычисляя знак второй производной (рис. 6.4).

Рис. 6.4. Определение вида экстремума с помощью второй производной

Видно, что в точке x 1 вторая производная меньше нуля, значит, точка х 1 соответствует максимуму функции. А в точке x 2 вторая производная больше нуля, значит, точка х 2 соответствует минимуму функции.

8.2 Определение площадей фигур, ограниченных непрерывными линиями

Площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции f (x ) , отрезком на оси Ox и двумя вертикалями х = а и х = b , a < b , определяется по формуле: .

Пример . Нахождение площади фигуры, ограниченной линиями f (x ) = 1 — x 2 и y = 0.

Рис. 6.5. Нахождение площади фигуры, ограниченной линиями f (x ) = 1 — x 2 и y = 0

Площадь фигуры, заключенной между графиками функций f 1(x ) и f 2(x ) и прямыми х = а и х = b , вычисляется по формуле:

Внимание . Чтобы избежать ошибок при вычислении площади, разность функций надо брать по модулю. Таким образом, площадь будет всегда положительной величиной.

Пример . Нахождение площади фигуры, ограниченной линиями и. Решение представлено на рисунке 6.6.

1. Строим график функций.

2. Находим точки пересечения функций с помощью функции root. Начальные приближения определим по графику.

3. Найденные значения x подставляем в формулу как пределы интегрирования.

8. 3 Построение кривых по заданным точкам

Построение прямой, проходящей через две заданные точки

Для составления уравнения прямой, проходящей через две точки А (x 0,y 0) и B (x 1,y 1), предлагается следующий алгоритм:

где a и b -- коэффициенты прямой, которые нам требуется найти.

2. Данная система является линейной. В ней две неизвестные переменные: a и b

Пример. Построение прямой, проходящей через точки А (-2,-4) и В (5,7).

Подставим в уравнение прямой координаты данных точек и получим систему:

Решение этой системы в MathCAD представлено на рисунке 6.7.

Рис. 6.7.Решение системы

В результате решения системы получаем: а = 1.57, b = -0.857. Значит, уравнение прямой будет иметь вид: y = 1.57x — 0.857. Построим эту прямую (рис. 6.8).

Рис. 6.8. Построение прямой

Построение параболы , проходящей через три заданные точки

Для построения параболы, проходящей через три точки А (x 0,y 0), B (x 1,y 1) и C (x 2,y 2), алгоритм следующий:

1. Парабола задается уравнением

y = ax 2 + b х + с , где

а , b и с -- коэффициенты параболы, которые нам требуется найти.

Подставляем в это уравнение заданные координаты точек и получаем систему:

2. Данная система является линейной. В ней три неизвестные переменные: a , b и с . Систему можно решить матричным способом.

3. Полученные коэффициенты подставляем в уравнение и строим параболу.

Пример. Построение параболы, проходящей через точки А (-1,-4), B (1,-2) и C (3,16).

Подставляем в уравнение параболы заданные координаты точек и получаем систему:

Решение этой системы уравнений в MathCAD представлено на рисунке 6.9.

Рис. 6.9. Решение системы уравнений

В результате получены коэффициенты: a = 2, b = 1, c = -5. Получаем уравнение параболы: 2x 2 +x -5 = y . Построим эту параболу (рис. 6.10).

Рис. 6.10. Построение параболы

Построение окружности, проходящей через три заданные точки

Для построения окружности, проходящей через три точки А (x 1,y 1), B (x 2,y 2) и C (x 3,y 3), можно воспользоваться следующим алгоритмом:

1. Окружность задается уравнением

где x0, y0 -- координаты центра окружности;

R -- радиус окружности.

2. Подставим в уравнение окружности заданные координаты точек и получим систему:

Данная система является нелинейной. В ней три неизвестные переменные: x 0, y 0 и R. Система решается с применением вычислительного блока Given - Find .

Пример . Построение окружности, проходящей через три точки А (-2,0), B (6,0) и C (2,4).

Подставим в уравнение окружности заданные координаты точек и получим систему:

Решение системы в MathCAD представлено на рисунке 6.11.

Рис. 6.11. Решение системы

В результате решения системы получено: x 0 = 2, y 0 = 0, R = 4. Подставим полученные координаты центра окружности и радиус в уравнение окружности. Получим:. Выразим отсюда y и построим окружность (рис. 6.12).